X財とY財に対する個人の効用関数が、$U(x, y) = x^\alpha y^{1-\alpha}$ で与えられている。ただし、$x, y$ はそれぞれX財とY財の消費量を表す。X財とY財の価格がそれぞれ $p_x, p_y$ で、個人の予算が $M$ であるとき、これらの2財に対する個人の需要関数を求めよ。

1. 問題の内容

X財とY財に対する個人の効用関数が、$U(x, y) = x^\alpha y^{1-\alpha}$ で与えられている。ただし、$x, y$ はそれぞれX財とY財の消費量を表す。X財とY財の価格がそれぞれ $p_x, p_y$ で、個人の予算が $M$ であるとき、これらの2財に対する個人の需要関数を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、効用最大化問題として解くことができます。効用最大化問題は、予算制約の下で効用関数を最大化する $x$ と $y$ の値を求める問題です。

まず、ラグランジュ関数を設定します。

$L(x, y, \lambda) = x^\alpha y^{1-\alpha} + \lambda(M - p_x x - p_y y)$

次に、ラグランジュ関数を $x$, $y$, $\lambda$ で偏微分し、それぞれの偏微分を0とおきます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = \alpha x^{\alpha-1} y^{1-\alpha} - \lambda p_x = 0$ (1)

$\frac{\partial L}{\partial y} = (1-\alpha) x^\alpha y^{-\alpha} - \lambda p_y = 0$ (2)

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = M - p_x x - p_y y = 0$ (3)

式(1)と(2)から $\lambda$ を消去します。

$\lambda = \frac{\alpha x^{\alpha-1} y^{1-\alpha}}{p_x} = \frac{(1-\alpha) x^\alpha y^{-\alpha}}{p_y}$

$\frac{\alpha x^{\alpha-1} y^{1-\alpha}}{p_x} = \frac{(1-\alpha) x^\alpha y^{-\alpha}}{p_y}$

両辺に $x^{1-\alpha} y^{\alpha}$ を掛けると、

$\frac{\alpha y}{p_x} = \frac{(1-\alpha) x}{p_y}$

$\alpha y p_y = (1-\alpha) x p_x$

$y = \frac{(1-\alpha) p_x x}{\alpha p_y}$

これを予算制約式(3)に代入します。

$M - p_x x - p_y \left( \frac{(1-\alpha) p_x x}{\alpha p_y} \right) = 0$

$M - p_x x - \frac{(1-\alpha) p_x x}{\alpha} = 0$

$M = p_x x + \frac{(1-\alpha) p_x x}{\alpha} = p_x x \left( 1 + \frac{1-\alpha}{\alpha} \right) = p_x x \left( \frac{\alpha + 1 - \alpha}{\alpha} \right) = p_x x \left( \frac{1}{\alpha} \right)$

$x = \frac{\alpha M}{p_x}$

これを $y = \frac{(1-\alpha) p_x x}{\alpha p_y}$ に代入します。

$y = \frac{(1-\alpha) p_x (\frac{\alpha M}{p_x})}{\alpha p_y} = \frac{(1-\alpha) \alpha M}{\alpha p_y} = \frac{(1-\alpha) M}{p_y}$

したがって、X財の需要関数は $x = \frac{\alpha M}{p_x}$ であり、Y財の需要関数は $y = \frac{(1-\alpha) M}{p_y}$ です。

3. 最終的な答え

X財の需要関数：$x = \frac{\alpha M}{p_x}$

Y財の需要関数：$y = \frac{(1-\alpha) M}{p_y}$