1つのサイコロを70回投げたとき、出る目の平均を$\overline{X}$とします。$\overline{X}$の期待値と標準偏差を求めてください。

1. 問題の内容

1つのサイコロを70回投げたとき、出る目の平均を$\overline{X}$とします。$\overline{X}$の期待値と標準偏差を求めてください。

2. 解き方の手順

まず、サイコロの目の期待値と分散を計算します。

サイコロの目は1から6であり、それぞれ確率$\frac{1}{6}$で出ます。

よって、サイコロの目の期待値$E[X]$は次のようになります。

$E[X] = \sum_{i=1}^{6} i \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

次に、サイコロの目の分散$V[X]$を計算します。

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$E[X^2] = \sum_{i=1}^{6} i^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

したがって、

$V[X] = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

サイコロを70回投げた時の平均$\overline{X}$の期待値$E[\overline{X}]$は、それぞれの期待値と変わらず、

$E[\overline{X}] = E[X] = 3.5$

サイコロを70回投げた時の平均$\overline{X}$の分散$V[\overline{X}]$は、

$V[\overline{X}] = \frac{V[X]}{n} = \frac{35}{12 \cdot 70} = \frac{35}{840} = \frac{1}{24}$

$\overline{X}$の標準偏差$\sigma_{\overline{X}}$は、分散の平方根であるため、

$\sigma_{\overline{X}} = \sqrt{V[\overline{X}]} = \sqrt{\frac{1}{24}} = \frac{1}{\sqrt{24}} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$

3. 最終的な答え

$\overline{X}$の期待値：3.5

$\overline{X}$の標準偏差：$\frac{\sqrt{6}}{12}$