袋の中に赤球4個、白球3個、青球2個が入っている。この袋の中から3個の球を取り出すとき、以下の確率をそれぞれ求めよ。 (1) 3種類の色が取り出される確率 (2) 赤と白の2種類の球が取り出される確率 (3) 少なくとも1個の青球が取り出される確率

1. 問題の内容

袋の中に赤球4個、白球3個、青球2個が入っている。この袋の中から3個の球を取り出すとき、以下の確率をそれぞれ求めよ。

(1) 3種類の色が取り出される確率

(2) 赤と白の2種類の球が取り出される確率

(3) 少なくとも1個の青球が取り出される確率

2. 解き方の手順

まず、袋の中から3個の球を取り出す場合の総数を求める。

全部で $4+3+2=9$ 個の球があるので、3個の球を取り出す組み合わせの総数は、

${}_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$ 通り

(1) 3種類の色が取り出される確率

3種類の色が取り出されるのは、赤、白、青をそれぞれ1個ずつ取り出す場合である。

赤球1個の選び方は${}_4C_1 = 4$通り

白球1個の選び方は${}_3C_1 = 3$通り

青球1個の選び方は${}_2C_1 = 2$通り

よって、3種類の色を取り出す組み合わせの数は $4 \times 3 \times 2 = 24$通り

したがって、求める確率は $\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$

(2) 赤と白の2種類の球が取り出される確率

赤と白の2種類の球を取り出す場合、取り出し方は以下の2通りである。

(a) 赤2個、白1個

(b) 赤1個、白2個

(a) 赤2個、白1個の場合

赤球2個の選び方は ${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り

白球1個の選び方は ${}_3C_1 = 3$通り

よって、この場合の組み合わせの数は $6 \times 3 = 18$通り

(b) 赤1個、白2個の場合

赤球1個の選び方は ${}_4C_1 = 4$通り

白球2個の選び方は ${}_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り

よって、この場合の組み合わせの数は $4 \times 3 = 12$通り

したがって、赤と白の2種類の球を取り出す組み合わせの数は $18 + 12 = 30$通り

求める確率は $\frac{30}{84} = \frac{5}{14}$

(3) 少なくとも1個の青球が取り出される確率

「少なくとも1個の青球が取り出される」事象の余事象は「青球が1個も取り出されない」事象である。

青球が1個も取り出されないのは、赤球と白球のみを取り出す場合である。

赤球と白球の合計は $4+3=7$個なので、この中から3個を取り出す組み合わせの数は ${}_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り

したがって、青球が1個も取り出されない確率は $\frac{35}{84} = \frac{5}{12}$

求める確率は $1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{7}$

(2) $\frac{5}{14}$

(3) $\frac{7}{12}$