ベクトル $\vec{a} = (-1, 4, 3)$ とベクトル $\vec{b} = (5, -2, -3)$ の両方に直交する単位ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-1, 4, 3)$ とベクトル $\vec{b} = (5, -2, -3)$ の両方に直交する単位ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交するベクトルを求めます。これは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算することで求められます。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (4)(-3) - (3)(-2) \\ (3)(5) - (-1)(-3) \\ (-1)(-2) - (4)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 + 6 \\ 15 - 3 \\ 2 - 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ -18 \end{pmatrix}$

次に、求めた外積ベクトルの大きさを計算します。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + (12)^2 + (-18)^2} = \sqrt{36 + 144 + 324} = \sqrt{504} = \sqrt{36 \cdot 14} = 6\sqrt{14}$

最後に、外積ベクトルをその大きさで割ることで、単位ベクトルを求めます。求める単位ベクトルは、$\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ となります。

$\pm \frac{\begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ -18 \end{pmatrix}}{6\sqrt{14}} = \pm \begin{pmatrix} -1/\sqrt{14} \\ 2/\sqrt{14} \\ -3/\sqrt{14} \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} -\sqrt{14}/14 \\ \sqrt{14}/7 \\ -3\sqrt{14}/14 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

求める単位ベクトルは、$\begin{pmatrix} -\sqrt{14}/14 \\ \sqrt{14}/7 \\ -3\sqrt{14}/14 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} \sqrt{14}/14 \\ -\sqrt{14}/7 \\ 3\sqrt{14}/14 \end{pmatrix}$ です。