平面上の3点O(0, 0), A(63, 0), B(15, 20) を頂点とする三角形OABの、重心、外心、内心、垂心の座標をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

平面上の3点O(0, 0), A(63, 0), B(15, 20) を頂点とする三角形OABの、重心、外心、内心、垂心の座標をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 重心

重心は、三角形の各頂点の座標の平均です。つまり、重心の座標を (x_G, y_G) とすると、

$x_G = (0 + 63 + 15) / 3$

$y_G = (0 + 0 + 20) / 3$

(2) 外心

外心は、三角形の各辺の垂直二等分線の交点です。

辺OAの中点は (63/2, 0) であり、OAの垂直二等分線は x = 63/2。

辺OBの中点は (15/2, 10) であり、OBの傾きは 20/15 = 4/3。OBの垂直二等分線の傾きは -3/4。

OBの垂直二等分線の方程式は $y - 10 = (-3/4)(x - 15/2)$ 。

外心の x 座標は 63/2 なので、これを代入すると、

$y - 10 = (-3/4)(63/2 - 15/2) = (-3/4)(48/2) = (-3/4)(24) = -18$

$y = 10 - 18 = -8$

したがって、外心の座標は (63/2, -8)。

(3) 内心

内心は、三角形の内角の二等分線の交点です。

まず、各辺の長さを求めます。

OA = 63

OB = $\sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$

AB = $\sqrt{(63-15)^2 + (0-20)^2} = \sqrt{48^2 + 20^2} = \sqrt{2304 + 400} = \sqrt{2704} = 52$

内心の座標を (x_I, y_I) とすると、

$x_I = (OA * x_B + OB * x_A + AB * x_O) / (OA + OB + AB) = (63 * 15 + 25 * 63 + 52 * 0) / (63 + 25 + 52) = (945 + 1575) / 140 = 2520 / 140 = 18$

$y_I = (OA * y_B + OB * y_A + AB * y_O) / (OA + OB + AB) = (63 * 20 + 25 * 0 + 52 * 0) / (63 + 25 + 52) = 1260 / 140 = 9$

したがって、内心の座標は (18, 9)。

(4) 垂心

垂心は、三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線の交点です。

頂点Bから辺OAに下ろした垂線は、x = 15。

頂点Oから辺ABに下ろした垂線の傾きは、ABの傾きの負の逆数。

ABの傾きは (20-0)/(15-63) = 20/(-48) = -5/12。

したがって、頂点Oから辺ABに下ろした垂線の傾きは 12/5。

この垂線の方程式は $y = (12/5)x$。

垂心の x 座標は 15 なので、これを代入すると、

$y = (12/5) * 15 = 12 * 3 = 36$

したがって、垂心の座標は (15, 36)。

3. 最終的な答え

(1) 重心: (26, 20/3)

(2) 外心: (63/2, -8)

(3) 内心: (18, 9)

(4) 垂心: (15, 36)