円 $x^2 + y^2 + 6x - 6y + 5 = 0$ 上の点 $(-1, 0)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + 6x - 6y + 5 = 0$ 上の点 $(-1, 0)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の方程式を変形して、円の中心と半径を求めます。

$x^2 + 6x + y^2 - 6y + 5 = 0$

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 6y) + 5 = 0$

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 6y + 9) + 5 - 9 - 9 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 13$

したがって、円の中心は $(-3, 3)$ で、半径は $\sqrt{13}$ です。

次に、円の中心と接点 $(-1, 0)$ を結ぶ直線の傾きを求めます。

傾き $m$ は次の式で表されます。

$m = \frac{0 - 3}{-1 - (-3)} = \frac{-3}{2}$

接線は、円の中心と接点を結ぶ直線に垂直なので、接線の傾き $m'$ は $m$ との積が $-1$ になるはずです。

$m \cdot m' = -1$ より、

$m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$

したがって、接線の傾きは $\frac{2}{3}$ で、接点は $(-1, 0)$ なので、接線の方程式は次のようになります。

$y - 0 = \frac{2}{3}(x - (-1))$

$y = \frac{2}{3}(x + 1)$

$y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}$

$3y = 2x + 2$

$2x - 3y + 2 = 0$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $2x - 3y + 2 = 0$ です。