全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$、 $B = \{2, 4, 6\}$ が与えられています。また、$n(A) = 4$、$n(B) = 3$、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$、$\overline{A} = \{5, 6\}$、$n(A \cup B) = 5$、$n(\overline{A}) = 2$ であることがわかっています。 このとき、以下の集合の要素の個数を求めます。 (1) $n(U)$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(A \cap B)$ (4) $n(\overline{A \cup B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$、 $B = \{2, 4, 6\}$ が与えられています。また、$n(A) = 4$、$n(B) = 3$、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$、$\overline{A} = \{5, 6\}$、$n(A \cup B) = 5$、$n(\overline{A}) = 2$ であることがわかっています。

このとき、以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $n(U)$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(A \cap B)$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(U)$ は全体集合 $U$ の要素の個数です。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ なので、$n(U) = 6$ です。

(2) $n(\overline{B})$ は集合 $B$ の補集合 $\overline{B}$ の要素の個数です。全体集合 $U$ から $B$ の要素 $\{2, 4, 6\}$ を除いたものが $\overline{B}$ です。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5\}$ なので、$n(\overline{B}) = 3$ です。

(3) $n(A \cap B)$ は集合 $A$ と $B$ の共通部分 $A \cap B$ の要素の個数です。$A = \{1, 2, 3, 4\}$、$B = \{2, 4, 6\}$ なので、$A \cap B = \{2, 4\}$ です。したがって、$n(A \cap B) = 2$ です。

(4) $n(\overline{A \cup B})$ は集合 $A \cup B$ の補集合 $\overline{A \cup B}$ の要素の個数です。$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ なので、$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{1, 2, 3, 4, 6\} = \{5\}$ です。したがって、$n(\overline{A \cup B}) = 1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $n(U) = 6$

(2) $n(\overline{B}) = 3$

(3) $n(A \cap B) = 2$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = 1$