放物線 $y = x^2 - 1$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 1$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ 軸との交点を求めます。

$y = x^2 - 1 = 0$ を解くと、

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

したがって、放物線と $x$ 軸の交点は $(-1, 0)$ と $(1, 0)$ です。

$x$ 軸で囲まれた部分の面積は、定積分を使って求められます。

$-1 \le x \le 1$ の範囲で、$y = x^2 - 1$ は負の値をとるので、面積を求めるには絶対値を取るか、$-y$ を積分する必要があります。

面積 $S$ は次のように計算できます。

$S = \int_{-1}^{1} |x^2 - 1| dx = - \int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx$

$\int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = [x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{-1}{3}) = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6 - 2}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{4}{3}$