はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

**

1. 問題の内容**

(6) $x+y-z = x+2y+z = 0$ かつ $xyz \neq 0$ のとき、$\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}$ の値を求めよ。

(7) $x, y, z$ が $x+2y+2z=0$, $x+y-z=1$ を満たすとき、$axy+byz+czx=1$ が常に成り立つように、定数 $a, b, c$ の値を定めよ。

**

2. 解き方の手順**

**(6) の解き方**

まず、$x+y-z=0$ と $x+2y+z=0$ の連立方程式を解きます。

$x+y-z = 0$ ...(1)

$x+2y+z = 0$ ...(2)

(1) + (2) より、

$2x+3y = 0$

$2x = -3y$

$x = -\frac{3}{2}y$

(1) に代入して、

$-\frac{3}{2}y + y - z = 0$

$-\frac{1}{2}y - z = 0$

$z = -\frac{1}{2}y$

したがって、$x = -\frac{3}{2}y$ , $z = -\frac{1}{2}y$

与えられた式に代入します。

$\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} = \frac{(-\frac{3}{2}y)^2 + y^2 + (-\frac{1}{2}y)^2}{(-\frac{3}{2}y)y + y(-\frac{1}{2}y) + (-\frac{1}{2}y)(-\frac{3}{2}y)} = \frac{\frac{9}{4}y^2 + y^2 + \frac{1}{4}y^2}{-\frac{3}{2}y^2 - \frac{1}{2}y^2 + \frac{3}{4}y^2} = \frac{\frac{14}{4}y^2}{\frac{-6-2+3}{4}y^2} = \frac{\frac{14}{4}y^2}{-\frac{5}{4}y^2} = -\frac{14}{5}$

$xyz \neq 0$ より、$y \neq 0$ であるので、$y^2$ で割ることができます。

**(7) の解き方**

$x+2y+2z = 0$ ...(1)

$x+y-z = 1$ ...(2)

(1) - (2) より、

$y+3z = -1$

$y = -3z - 1$

(2) に代入して、

$x + (-3z - 1) - z = 1$

$x - 4z - 1 = 1$

$x = 4z + 2$

$axy+byz+czx=1$ に $x = 4z + 2$ , $y = -3z - 1$ を代入して、

$a(4z+2)(-3z-1) + b(-3z-1)z + c(4z+2)z = 1$

$a(-12z^2 -10z -2) + b(-3z^2 -z) + c(4z^2 + 2z) = 1$

$(-12a - 3b + 4c)z^2 + (-10a - b + 2c)z - 2a = 1$

この式が任意の $z$ に対して成り立つためには、以下の係数が満たされる必要があります。

$-12a - 3b + 4c = 0$

$-10a - b + 2c = 0$

$-2a = 1$

$-2a = 1$ より、$a = -\frac{1}{2}$

$-10(-\frac{1}{2}) - b + 2c = 0$

$5 - b + 2c = 0$

$b = 5 + 2c$

$-12(-\frac{1}{2}) - 3(5+2c) + 4c = 0$

$6 - 15 - 6c + 4c = 0$

$-9 - 2c = 0$

$c = -\frac{9}{2}$

$b = 5 + 2(-\frac{9}{2}) = 5 - 9 = -4$

したがって、$a = -\frac{1}{2}$, $b = -4$, $c = -\frac{9}{2}$

**

3. 最終的な答え**

(6) $\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} = -\frac{14}{5}$

(7) $a = -\frac{1}{2}$, $b = -4$, $c = -\frac{9}{2}$