与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (3k-1)$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (3k-1)$ を計算することです。

2. 解き方の手順

総和の性質を利用して、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k-1) = \sum_{k=1}^{n} 3k - \sum_{k=1}^{n} 1$

定数倍は総和の外に出せるので、

$\sum_{k=1}^{n} 3k = 3 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k$ は $1$ から $n$ までの自然数の和であり、$\frac{n(n+1)}{2}$ で表されます。

$\sum_{k=1}^{n} 1$ は $1$ を $n$ 回足し合わせるので、$n$ になります。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (3k-1) = 3 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n$

これを整理すると、

$3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = \frac{3n(n+1)}{2} - \frac{2n}{2} = \frac{3n^2+3n-2n}{2} = \frac{3n^2+n}{2} = \frac{n(3n+1)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(3n+1)}{2}$