$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$、 $B = \frac{2}{3-\sqrt{5}}$とする。 (1) $A$の分母を有理化して簡単にせよ。 (2) $B$の整数部分と小数部分をそれぞれ求めよ。 (3) $B$の小数部分を$p$、$AB$の小数部分を$q$とするとき、$2pq+4p+q+2$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$、 $B = \frac{2}{3-\sqrt{5}}$とする。

(1) $A$の分母を有理化して簡単にせよ。

(2) $B$の整数部分と小数部分をそれぞれ求めよ。

(3) $B$の小数部分を$p$、$AB$の小数部分を$q$とするとき、$2pq+4p+q+2$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $A$の分母を有理化する。

$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1$

(2) $B$の整数部分と小数部分を求める。

$B = \frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$2 < \sqrt{5} < 3$ なので、 $5 < 3+\sqrt{5} < 6$

よって $\frac{5}{2} < \frac{3+\sqrt{5}}{2} < \frac{6}{2}$

$2.5 < B < 3$

したがって、$B$の整数部分は2、小数部分は$B-2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} - 2 = \frac{3+\sqrt{5}-4}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

(3) $B$の小数部分を$p$、$AB$の小数部分を$q$とする。$2pq+4p+q+2$の値を求める。

$p = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$AB = (\sqrt{5}+1)\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{5}+5+3+\sqrt{5}}{2} = \frac{4\sqrt{5}+8}{2} = 2\sqrt{5}+4$

$2 < \sqrt{5} < 3$ なので $4 < 2\sqrt{5} < 6$

$8 < 2\sqrt{5}+4 < 10$

$2\sqrt{5}+4 = 8+$小数部分なので、$2\sqrt{5} -4$ が小数部分。

$q = 2\sqrt{5}-4$

$2pq+4p+q+2 = 2p(q+2) + (q+2) = (2p+1)(q+2) = \left(2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)+1\right) (2\sqrt{5}-4+2) = (\sqrt{5}-1+1)(2\sqrt{5}-2) = \sqrt{5}(2\sqrt{5}-2) = 10-2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $A = \sqrt{5}+1$

(2) $B$の整数部分: 2, 小数部分: $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

(3) $2pq+4p+q+2 = 10-2\sqrt{5}$