与えられた方程式 $4x + 3y = 47$ について、以下の問題を解きます。 (1) この方程式を満たす自然数 $x, y$ の組を1つ求めます。 (2) この方程式を満たす整数 $x, y$ の組をすべて求めます。 (3) この方程式を満たす自然数 $x, y$ の組をすべて求めます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $4x + 3y = 47$ について、以下の問題を解きます。

(1) この方程式を満たす自然数 $x, y$ の組を1つ求めます。

(2) この方程式を満たす整数 $x, y$ の組をすべて求めます。

(3) この方程式を満たす自然数 $x, y$ の組をすべて求めます。

2. 解き方の手順

(1) $4x + 3y = 47$ を満たす自然数 $x, y$ の組を1つ求める。

まず、$x = 1$ から順に代入して、$y$ が自然数となるものを探します。

$x = 1$ のとき、$4(1) + 3y = 47$ より、$3y = 43$。$y = \frac{43}{3}$ となり、自然数ではない。

$x = 2$ のとき、$4(2) + 3y = 47$ より、$3y = 39$。$y = 13$ となり、自然数である。

よって、$x = 2, y = 13$ が一つの解である。

(2) $4x + 3y = 47$ を満たす整数 $x, y$ の組をすべて求める。

(1) で求めた解 $x = 2, y = 13$ を用いて、一般解を求める。

$4x + 3y = 47$

$4(2) + 3(13) = 47$

辺々を引くと、

$4(x-2) + 3(y-13) = 0$

$4(x-2) = -3(y-13)$

4と3は互いに素なので、$x-2$ は3の倍数となる。よって、$x-2 = 3k$ ($k$ は整数) とおく。

$x = 3k + 2$

これを代入すると、

$4(3k) = -3(y-13)$

$4k = -(y-13)$

$y - 13 = -4k$

$y = -4k + 13$

よって、整数解は、$x = 3k + 2, y = -4k + 13$ ($k$ は整数) と表せる。

(3) $4x + 3y = 47$ を満たす自然数 $x, y$ の組をすべて求める。

(2)で求めた整数解において、$x > 0$ かつ $y > 0$ となる $k$ の範囲を求める。

$x = 3k + 2 > 0$ より、$3k > -2$, $k > -\frac{2}{3}$

$y = -4k + 13 > 0$ より、$-4k > -13$, $4k < 13$, $k < \frac{13}{4} = 3.25$

$k$ は整数なので、$k = 0, 1, 2, 3$ となる。

$k = 0$ のとき、$x = 2, y = 13$

$k = 1$ のとき、$x = 5, y = 9$

$k = 2$ のとき、$x = 8, y = 5$

$k = 3$ のとき、$x = 11, y = 1$

よって、自然数解は、$(2, 13), (5, 9), (8, 5), (11, 1)$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $(2, 13)$

(2) $x = 3k + 2, y = -4k + 13$ ($k$ は整数)

(3) $(2, 13), (5, 9), (8, 5), (11, 1)$