2次関数 $y = -x^2 + 6x + 1$ のグラフが、$x$軸から切り取る線分の長さを求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 6x + 1$ のグラフが、$x$軸から切り取る線分の長さを求める。

2. 解き方の手順

$x$軸から切り取る線分の長さは、2次関数のグラフと$x$軸との交点の$x$座標を求め、その差の絶対値を計算することで求められます。$x$軸との交点は、$y = 0$となる点なので、$y = -x^2 + 6x + 1$ に $y = 0$ を代入して、$x$について解きます。

$-x^2 + 6x + 1 = 0$

この2次方程式を解くために、両辺に-1をかけて、

$x^2 - 6x - 1 = 0$

解の公式を使って、$x$を求めます。解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ の解が、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられるというものです。

今回は、$a = 1, b = -6, c = -1$ なので、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2}$

$x = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2}$

$x = 3 \pm \sqrt{10}$

$x_1 = 3 + \sqrt{10}$

$x_2 = 3 - \sqrt{10}$

よって、$x$軸から切り取る線分の長さは、$|x_1 - x_2|$で求められます。

$|x_1 - x_2| = |(3 + \sqrt{10}) - (3 - \sqrt{10})| = |2\sqrt{10}| = 2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{10}$