$a$ を定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$

$y = 2(x^2 - 2ax) + 2a^2$

$y = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2$

$y = 2(x - a)^2 - 2a^2 + 2a^2$

$y = 2(x - a)^2$

この関数の軸は $x = a$ である。定義域は $0 \le x \le 1$ なので、軸 $x=a$ の位置によって場合分けを行う。

(i) $a < 0$ のとき、定義域 $0 \le x \le 1$ において関数は単調増加である。したがって、$x=0$ で最小値をとる。

$y_{min} = 2(0 - a)^2 = 2a^2$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、定義域 $0 \le x \le 1$ に軸が含まれるので、$x=a$ で最小値をとる。

$y_{min} = 2(a - a)^2 = 0$

(iii) $a > 1$ のとき、定義域 $0 \le x \le 1$ において関数は単調減少である。したがって、$x=1$ で最小値をとる。

$y_{min} = 2(1 - a)^2 = 2(1 - 2a + a^2) = 2a^2 - 4a + 2$

以上をまとめると、

(i) $a < 0$ のとき、$y_{min} = 2a^2$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、$y_{min} = 0$

(iii) $a > 1$ のとき、$y_{min} = 2a^2 - 4a + 2$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値は $2a^2$

$0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $0$

$a > 1$ のとき、最小値は $2a^2 - 4a + 2$