与えられた複素数の等式を満たす実数 $x$ と $y$ の値を求めます。 (1) $(x+3y)+(y+2)i=0$ (2) $(x-y)+(3x+2y)i=4+2i$

1. 問題の内容

与えられた複素数の等式を満たす実数 $x$ と $y$ の値を求めます。

(1) $(x+3y)+(y+2)i=0$

(2) $(x-y)+(3x+2y)i=4+2i$

2. 解き方の手順

複素数の等式において、実部と虚部はそれぞれ等しくなければなりません。

(1) $(x+3y)+(y+2)i=0$ の場合：

実部と虚部がそれぞれ0になるので、以下の連立方程式が成り立ちます。

$x+3y = 0$

$y+2 = 0$

2番目の式から $y=-2$ が得られます。

これを1番目の式に代入すると、$x+3(-2)=0$ となり、$x-6=0$ より $x=6$ が得られます。

(2) $(x-y)+(3x+2y)i=4+2i$ の場合：

実部と虚部を比較して、以下の連立方程式を得ます。

$x-y = 4$

$3x+2y = 2$

1番目の式を2倍すると、$2x-2y = 8$ となります。

これを2番目の式に足し合わせると、$3x+2y + 2x-2y = 2+8$ より $5x=10$ となり、$x=2$ が得られます。

$x=2$ を1番目の式に代入すると、$2-y=4$ となり、$y=2-4=-2$ が得られます。

3. 最終的な答え

(1) $x=6$, $y=-2$

(2) $x=2$, $y=-2$