関数 $y = x^2 - 4x + 5$ の $a-1 \le x \le a+1$ における最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 4x + 5$ の $a-1 \le x \le a+1$ における最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$

よって、グラフは下に凸であり、頂点の座標は $(2, 1)$ です。

したがって、アは2, イは1です。

軸 $x=2$ が定義域 $a-1 \le x \le a+1$ に含まれるとき、$a-1 \le 2 \le a+1$ が成り立ちます。

これを解くと、

$a-1 \le 2$ より $a \le 3$

$2 \le a+1$ より $a \ge 1$

したがって、 $1 \le a \le 3$ となります。

よって、エは1、オは3です。

つまり、$1 \le a \le 3$ のとき、最小値は頂点の $y$ 座標である1をとり、$x=2$ となります。

(i) $a < 1$ のとき、定義域は $a-1 \le x \le a+1$ なので、$x=a-1$ のとき最小値をとります。

よって、カは0 ($a-1$) です。

最小値は $y = (a-1)^2 - 4(a-1) + 5 = a^2 - 2a + 1 - 4a + 4 + 5 = a^2 - 6a + 10$ となります。

よって、キは3 ($a^2 - 6a + 10$) です。

(iii) $a > 3$ のとき、定義域は $a-1 \le x \le a+1$ なので、$x=a+1$ のとき最小値をとります。

よって、クは2 ($a+1$) です。

最小値は $y = (a+1)^2 - 4(a+1) + 5 = a^2 + 2a + 1 - 4a - 4 + 5 = a^2 - 2a + 2$ となります。

よって、ケは5 ($a^2 - 2a + 2$) です。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：1

ウ：2

エ：1

オ：3

カ：0

キ：3

ク：2

ケ：5