与えられた複素数の分数 $\frac{3+i}{1+2i}$ を計算して、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた複素数の分数 $\frac{3+i}{1+2i}$ を計算して、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

複素数の分数を計算するには、まず分母の共役複素数を求めます。分母 $1+2i$ の共役複素数は $1-2i$ です。

次に、分子と分母の両方に共役複素数を掛けます。

$\frac{3+i}{1+2i} = \frac{(3+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

分子を展開します:

$(3+i)(1-2i) = 3(1) + 3(-2i) + i(1) + i(-2i) = 3 - 6i + i - 2i^2$

$i^2 = -1$ なので、$3 - 6i + i - 2(-1) = 3 - 5i + 2 = 5 - 5i$

分母を展開します:

$(1+2i)(1-2i) = 1(1) + 1(-2i) + 2i(1) + 2i(-2i) = 1 - 2i + 2i - 4i^2$

$i^2 = -1$ なので、$1 - 2i + 2i - 4(-1) = 1 + 4 = 5$

したがって、

$\frac{(3+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{5-5i}{5}$

最後に、分数を簡単にします：

$\frac{5-5i}{5} = \frac{5}{5} - \frac{5i}{5} = 1 - i$

3. 最終的な答え

$1 - i$