$x + y = 2$ ならば「$x \le 1$ または $y \le 1$」であることを対偶を考えて証明する。

1. 問題の内容

$x + y = 2$ ならば「$x \le 1$ または $y \le 1$」であることを対偶を考えて証明する。

2. 解き方の手順

対偶を考える。元の命題の対偶は、「$x > 1$ かつ $y > 1$」ならば $x + y \neq 2$ である。

この対偶が真であることを示す。

$x > 1$ かつ $y > 1$ であるとき、 $x = 1 + a$、$y = 1 + b$ となる正の数 $a$、$b$ が存在する。

よって、

$x + y = (1 + a) + (1 + b) = 2 + a + b$

$a > 0$、$b > 0$ より、$a + b > 0$ なので、

$x + y = 2 + a + b > 2$

したがって、$x + y \neq 2$ である。

したがって、対偶は真である。よって、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

対偶「$x > 1$ かつ $y > 1$ ならば $x + y \neq 2$」が真であるため、元の命題「$x + y = 2$ ならば $x \le 1$ または $y \le 1$」は真である。