与えられた3次式 $P(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $P(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$P(x)$ に適切な $x$ の値を代入して $P(x) = 0$ となる $x$ を探します。

$x = 2$ を代入すると、

$P(2) = (2)^3 + 3(2)^2 - 4(2) - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0$

したがって、$P(x)$ は $(x-2)$ を因数に持つことがわかります。

次に、 $P(x)$ を $(x-2)$ で割ります。

$\qquad x^2 + 5x + 6 \\ x-2 \overline{) x^3 + 3x^2 - 4x - 12} \\ \qquad \underline{x^3 - 2x^2} \\ \qquad \qquad 5x^2 - 4x \\ \qquad \qquad \underline{5x^2 - 10x} \\ \qquad \qquad \qquad 6x - 12 \\ \qquad \qquad \qquad \underline{6x - 12} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad 0$

したがって、$P(x) = (x-2)(x^2 + 5x + 6)$ となります。

次に、二次式 $x^2 + 5x + 6$ を因数分解します。

$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$

したがって、$P(x) = (x-2)(x+2)(x+3)$ となります。

3. 最終的な答え

$P(x) = (x-2)(x+2)(x+3)$