与えられた行列 $ \begin{bmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{bmatrix} $ が正則でないような $x$ の値を求める問題です。正則でないとは、行列式が0になることを意味します。

1. 問題の内容

与えられた行列

$$

\begin{bmatrix}

2-x & 4 & -4 \\

3 & 3-x & -4 \\

3 & 5 & -6-x

\end{bmatrix}

$$

が正則でないような $x$ の値を求める問題です。正則でないとは、行列式が0になることを意味します。

2. 解き方の手順

与えられた行列の行列式を計算し、それが0になるような $x$ の値を求めます。行列式を計算するために、サラスの公式または余因子展開を用います。ここではサラスの公式を使います。

行列式は次のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

2-x & 4 & -4 \\

3 & 3-x & -4 \\

3 & 5 & -6-x

\end{vmatrix} = (2-x)(3-x)(-6-x) + 4(-4)(3) + (-4)(3)(5) - (-4)(3-x)(3) - (2-x)(-4)(5) - 4(3)(-6-x)

$$

これを展開して整理します。

$$

(2-x)(3-x)(-6-x) = (6 - 5x + x^2)(-6-x) = -36 - 6x + 30x + 5x^2 - 6x^2 - x^3 = -x^3 - x^2 + 24x - 36

$$

$$

4(-4)(3) = -48

$$

$$

(-4)(3)(5) = -60

$$

$$

-(-4)(3-x)(3) = 12(3-x) = 36 - 12x

$$

$$

-(2-x)(-4)(5) = 20(2-x) = 40 - 20x

$$

$$

-4(3)(-6-x) = -12(-6-x) = 72 + 12x

$$

したがって、行列式は

$$

-x^3 - x^2 + 24x - 36 - 48 - 60 + 36 - 12x + 40 - 20x + 72 + 12x

= -x^3 - x^2 - 8x + 4

$$

行列式が0になるような $x$ を求めるので、

$$

-x^3 - x^2 - 8x + 4 = 0

$$

$$

x^3 + x^2 + 8x - 4 = 0

$$

$x=0.4625...$付近に一つの実数解があり、残り二つの解は複素数解を持つことがわかります。

問題文から解は一つとは限らないことがわかります。

行列式を別の方法で計算してみます。

$$

\begin{vmatrix}

2-x & 4 & -4 \\

3 & 3-x & -4 \\

3 & 5 & -6-x

\end{vmatrix} = (2-x)\begin{vmatrix}3-x & -4 \\ 5 & -6-x\end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix}3 & -4 \\ 3 & -6-x\end{vmatrix} + (-4)\begin{vmatrix}3 & 3-x \\ 3 & 5\end{vmatrix}

$$

$$

= (2-x)((3-x)(-6-x) - (-4)(5)) - 4(3(-6-x) - (-4)(3)) - 4(3(5) - (3-x)(3))

$$

$$

= (2-x)(-18 - 3x + 6x + x^2 + 20) - 4(-18 - 3x + 12) - 4(15 - 9 + 3x)

$$

$$

= (2-x)(x^2 + 3x + 2) - 4(-6 - 3x) - 4(6 + 3x)

$$

$$

= (2-x)(x+1)(x+2) + 24 + 12x - 24 - 12x

$$

$$

= (2-x)(x+1)(x+2) = 0

$$

よって、$x = 2, -1, -2$

3. 最終的な答え

$x = 2, -1, -2$