与えられた積分 $\int x^2 e^{3x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x^2 e^{3x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回繰り返すことで解くことができます。部分積分の公式は、$\int u dv = uv - \int v du$ です。

まず、$u = x^2$、$dv = e^{3x} dx$ とします。このとき、$du = 2x dx$、$v = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x}$ となります。

部分積分の公式を適用すると、

$\int x^2 e^{3x} dx = x^2 \cdot \frac{1}{3} e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} \cdot 2x dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{3} \int x e^{3x} dx$

次に、$\int x e^{3x} dx$ を部分積分で計算します。

$u = x$、$dv = e^{3x} dx$ とすると、$du = dx$、$v = \frac{1}{3} e^{3x}$ となります。

$\int x e^{3x} dx = x \cdot \frac{1}{3} e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} dx = \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{3} \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{3x} = \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x}$

これを最初の式に代入すると、

$\int x^2 e^{3x} dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{3} \left( \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} \right) + C = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{9} x e^{3x} + \frac{2}{27} e^{3x} + C$

3. 最終的な答え

$\int x^2 e^{3x} dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{9} x e^{3x} + \frac{2}{27} e^{3x} + C = e^{3x} \left( \frac{1}{3} x^2 - \frac{2}{9} x + \frac{2}{27} \right) + C$