$a$ は定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数を平方完成する。

$y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 = 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 = 2(x - a)^2 - 2a^2 + 2a^2 = 2(x-a)^2$

したがって、頂点は $(a, 0)$ である。定義域が $0 \le x \le 1$ であるから、軸 $x=a$ がこの区間にあるかどうかで場合分けをする。

(1) $a < 0$ のとき

$0 \le x \le 1$ で $y$ は増加関数なので、$x=0$ で最小値をとる。

$y = 2(0)^2 - 4a(0) + 2a^2 = 2a^2$

(2) $0 \le a \le 1$ のとき

$x=a$ で最小値をとる。

$y = 2(a-a)^2 = 0$

(3) $a > 1$ のとき

$0 \le x \le 1$ で $y$ は減少関数なので、$x=1$ で最小値をとる。

$y = 2(1)^2 - 4a(1) + 2a^2 = 2 - 4a + 2a^2 = 2(a^2 - 2a + 1) = 2(a-1)^2$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値 $2a^2$

$0 \le a \le 1$ のとき、最小値 $0$

$a > 1$ のとき、最小値 $2(a-1)^2$