次の計算を求めよ。 $T_{0}^{-1} + T_{36}^{-1}$ ただし、$T_n$ はｎ次のチェビシェフ多項式を表す。

1. 問題の内容

次の計算を求めよ。

$T_{0}^{-1} + T_{36}^{-1}$

ただし、$T_n$ はｎ次のチェビシェフ多項式を表す。

2. 解き方の手順

チェビシェフ多項式は、次の漸化式で定義されます。

$T_0(x) = 1$

$T_1(x) = x$

$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)$

これより、

$T_2(x) = 2xT_1(x) - T_0(x) = 2x^2 - 1$

$T_3(x) = 2xT_2(x) - T_1(x) = 2x(2x^2 - 1) - x = 4x^3 - 3x$

$T_4(x) = 2xT_3(x) - T_2(x) = 2x(4x^3 - 3x) - (2x^2 - 1) = 8x^4 - 8x^2 + 1$

$T_5(x) = 2xT_4(x) - T_3(x) = 2x(8x^4 - 8x^2 + 1) - (4x^3 - 3x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x$

$T_6(x) = 2xT_5(x) - T_4(x) = 2x(16x^5 - 20x^3 + 5x) - (8x^4 - 8x^2 + 1) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1$

一般に、$T_n(\cos \theta) = \cos (n\theta)$ が成り立ちます。

この問題では逆数が出てくるので、$\cos \theta$ で表すのではなく、 $x = \cos h\theta$ とおくと、

$T_n(x) = \cosh(n \theta)$ と表すことができます。

よって、$T_0(x) = \cosh(0) = 1$

$T_{36}(x) = \cosh(36\theta)$ となります。

したがって、

$T_0^{-1}(x) = \frac{1}{T_0(x)} = \frac{1}{1} = 1$

$T_{36}^{-1}(x) = \frac{1}{T_{36}(x)} = \frac{1}{\cosh(36\theta)}$

$T_0^{-1}(x) + T_{36}^{-1}(x) = 1 + \frac{1}{\cosh(36\theta)}$

3. 最終的な答え

$1 + \frac{1}{\cosh(36\theta)}$

または

$\frac{\cosh(36\theta) + 1}{\cosh(36\theta)}$