関数 $y = \sqrt{x^2 - 1}$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。

はい、承知いたしました。画像に写っている関数の導関数を求める問題ですね。ここでは、(1)の問題 $y = \sqrt{x^2 - 1}$ の解き方を説明します。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{x^2 - 1}$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $u = x^2 - 1$ の関数として考えます。すると、$y = \sqrt{u}$ となります。

$\sqrt{u}$ は $u^{1/2}$ とも書けるので、$y = u^{1/2}$です。

合成関数の微分公式を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^{1/2}) = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{u}}$

ここで、$u = x^2 - 1$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$