整数 $n$ に対して、命題「$n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない」を証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、命題「$n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない」を証明する。

2. 解き方の手順

この命題の対偶を証明する。対偶は「$n$ が3の倍数ならば、$n^2$ が3の倍数である」である。

$n$ が3の倍数であると仮定すると、ある整数 $k$ を用いて、$n = 3k$ と表せる。

このとき、$n^2$ は

$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$

と表せる。ここで、$3k^2$ は整数であるから、$n^2$ は3の倍数である。

したがって、対偶である「$n$ が3の倍数ならば、$n^2$ が3の倍数である」が真であるため、元の命題「$n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない」も真である。

3. 最終的な答え

証明終わり。