$m, n$ は整数とする。次の命題を証明する。 「$n^2$ が5の倍数ならば、$n$ は5の倍数である。」

1. 問題の内容

$m, n$ は整数とする。次の命題を証明する。

「$n^2$ が5の倍数ならば、$n$ は5の倍数である。」

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明する。

元の命題の対偶は、「$n$ が5の倍数でないならば、$n^2$ は5の倍数でない」である。

$n$ が5の倍数でないとき、$n$ は整数 $k$ を用いて、$n = 5k + 1$, $n = 5k + 2$, $n = 5k + 3$, $n = 5k + 4$ のいずれかで表せる。

(i) $n = 5k + 1$ のとき

$n^2 = (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1$

$5k^2 + 2k$ は整数なので、$n^2$ は5で割ると1余る数であり、5の倍数ではない。

(ii) $n = 5k + 2$ のとき

$n^2 = (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4$

$5k^2 + 4k$ は整数なので、$n^2$ は5で割ると4余る数であり、5の倍数ではない。

(iii) $n = 5k + 3$ のとき

$n^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$

$5k^2 + 6k + 1$ は整数なので、$n^2$ は5で割ると4余る数であり、5の倍数ではない。

(iv) $n = 5k + 4$ のとき

$n^2 = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k + 3) + 1$

$5k^2 + 8k + 3$ は整数なので、$n^2$ は5で割ると1余る数であり、5の倍数ではない。

したがって、$n$ が5の倍数でないならば、$n^2$ は5の倍数でない。これは元の命題の対偶であり、対偶が真であるから、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が5の倍数ならば、$n$ は5の倍数である。（証明終わり）