関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 3a^2 - 4$ が与えられています。 (1) 放物線 $y = f(x)$ の頂点の座標を求めます。 (2) $a = \frac{1}{2}$ のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。 (3) $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値を、$a$ の値によって場合分けして求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 3a^2 - 4$ が与えられています。

(1) 放物線 $y = f(x)$ の頂点の座標を求めます。

(2) $a = \frac{1}{2}$ のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

(3) $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値を、$a$ の値によって場合分けして求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - a^2 + 3a^2 - 4 = (x - a)^2 + 2a^2 - 4$

したがって、頂点の座標は $(a, 2a^2 - 4)$ です。

(2) $a = \frac{1}{2}$ のとき、$f(x) = (x - \frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2})^2 - 4 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} - 4 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{7}{2}$ です。

$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値を求めます。

$x = 2$ のとき、$f(2) = (2 - \frac{1}{2})^2 - \frac{7}{2} = (\frac{3}{2})^2 - \frac{7}{2} = \frac{9}{4} - \frac{14}{4} = -\frac{5}{4}$。

$x=0$のとき、$f(0) = (0 - \frac{1}{2})^2 - \frac{7}{2} = (\frac{1}{2})^2 - \frac{7}{2} = \frac{1}{4} - \frac{14}{4} = -\frac{13}{4}$。

$f(2)$の方が大きいので、最大値は$-\frac{5}{4}$です。

最小値は、頂点 $x=\frac{1}{2}$ で、$f(\frac{1}{2}) = - \frac{7}{2}$ です。

(3) $f(x) = (x - a)^2 + 2a^2 - 4$ において、定義域 $0 \le x \le 2$ での最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標が $x = a$ なので、$a$ の値によって場合分けします。

(i) $0 \le a \le 2$ のとき、最小値は頂点の $y$ 座標 $2a^2 - 4$ です。

(ii) $a > 2$ のとき、区間内で $x$ が小さいほど $f(x)$ が小さくなるので、$x = 0$ で最小値 $f(0) = 3a^2 - 4$ を取ります。

(iii) $a < 0$ のとき、区間内で $x$ が大きいほど $f(x)$ が小さくなるので、$x = 2$ で最小値 $f(2) = (2-a)^2 + 2a^2 - 4 = 4 - 4a + a^2 + 2a^2 - 4 = 3a^2 - 4a$ を取ります。

問題文より、$a \ge 0$ なので、(iii)は考慮しません。

したがって、

$0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $2a^2 - 4$ です。

$a > 2$ のとき、最小値は $3a^2 - 4a$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標は $(a, 2a^2 - 4)$

(2) 最大値は $-\frac{5}{4}$ 、最小値は $-\frac{7}{2}$

(3)

$0 \le a \le 2$ のとき、$2a^2 - 4$

$a > 2$ のとき、$3a^2 - 4a$