2次方程式 $x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用します。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、以下の関係が成り立ちます。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

今回の問題では、$x^2 - x - 5 = 0$ なので、$a = 1$, $b = -1$, $c = -5$ です。

したがって、

$\alpha + \beta = -\frac{-1}{1} = 1$

$\alpha\beta = \frac{-5}{1} = -5$

求めたいのは$\alpha^2 + \beta^2$ です。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ という関係式を利用して、$\alpha^2 + \beta^2$ を求めます。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha + \beta = 1$、$\alpha\beta = -5$ を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (1)^2 - 2(-5)$

$\alpha^2 + \beta^2 = 1 + 10$

$\alpha^2 + \beta^2 = 11$

3. 最終的な答え

11