(1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2\cos x)}{x - \frac{\pi}{2}}$ を求める。 (2) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+3}{x-3} \right)^x$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2\cos x)}{x - \frac{\pi}{2}}$ を求める。

(2) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+3}{x-3} \right)^x$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x - \frac{\pi}{2} = t$ とおくと、$x = t + \frac{\pi}{2}$ となる。$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$ である。

したがって、

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2\cos x)}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(2\cos(t + \frac{\pi}{2}))}{t}$$

$\cos(t + \frac{\pi}{2}) = -\sin t$ であるから、

$$= \lim_{t \to 0} \frac{\sin(-2\sin t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2\sin t)}{t}$$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いると、

$$= \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2\sin t)}{2\sin t} \cdot \frac{2\sin t}{t} = -1 \cdot 2 \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = -1 \cdot 2 \cdot 1 = -2$$

(2)

$$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+3}{x-3} \right)^x = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x-3+6}{x-3} \right)^x = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{6}{x-3} \right)^x$$

ここで、$y = x - 3$ とおくと、$x = y + 3$ である。$x \to \infty$ のとき、$y \to \infty$ であるから、

$$= \lim_{y \to \infty} \left( 1 + \frac{6}{y} \right)^{y+3} = \lim_{y \to \infty} \left( 1 + \frac{6}{y} \right)^y \left( 1 + \frac{6}{y} \right)^3$$

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n = e^a$ を用いると、

$$= e^6 \lim_{y \to \infty} \left( 1 + \frac{6}{y} \right)^3 = e^6 \cdot 1^3 = e^6$$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) $e^6$