次の関数の導関数を求めます。 (7) $y = \arctan(\arcsin(x))$ (8) $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 2})$ (9) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ (10) $y = \tan(\frac{x+1}{x^2})$ (11) $y = \sin^3(x^2)$ (12) $y = \tan(\sin(\log(x)))$

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めます。

(7) $y = \arctan(\arcsin(x))$

(8) $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 2})$

(9) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

(10) $y = \tan(\frac{x+1}{x^2})$

(11) $y = \sin^3(x^2)$

(12) $y = \tan(\sin(\log(x)))$

2. 解き方の手順

(7) $y = \arctan(\arcsin(x))$ の導関数

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2}$、$\frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\arcsin(x))^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1}{(1 + (\arcsin(x))^2)\sqrt{1 - x^2}}$

(8) $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 2})$ の導関数

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} \log(x) = \frac{1}{x}$、$\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2}} \cdot 2x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 2} + x}{\sqrt{x^2 + 2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}}$

(9) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ の導関数

商の微分公式 $\frac{d}{dx} (\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。$u = x$、$v = \sqrt{x^2 + 1}$ とすると、$u' = 1$、$v' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

(10) $y = \tan(\frac{x+1}{x^2})$ の導関数

合成関数の微分と商の微分公式を用います。$\frac{d}{dx} \tan(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)$、$\frac{d}{dx} (\frac{x+1}{x^2}) = \frac{1 \cdot x^2 - (x+1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^2 - 2x^2 - 2x}{x^4} = \frac{-x^2 - 2x}{x^4} = \frac{-x-2}{x^3}$ です。

$\frac{dy}{dx} = (1 + \tan^2(\frac{x+1}{x^2})) \cdot \frac{-x-2}{x^3}$

(11) $y = \sin^3(x^2)$ の導関数

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} \sin^3(x) = 3\sin^2(x) \cdot \cos(x)$、$\frac{d}{dx} x^2 = 2x$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = 3\sin^2(x^2) \cdot \cos(x^2) \cdot 2x = 6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)$

(12) $y = \tan(\sin(\log(x)))$ の導関数

合成関数の微分を繰り返します。$\frac{d}{dx} \tan(x) = 1 + \tan^2(x)$、$\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)$、$\frac{d}{dx} \log(x) = \frac{1}{x}$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = (1 + \tan^2(\sin(\log(x)))) \cdot \cos(\log(x)) \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \tan^2(\sin(\log(x))))\cos(\log(x))}{x}$

3. 最終的な答え

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(1 + (\arcsin(x))^2)\sqrt{1 - x^2}}$

(8) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}}$

(9) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

(10) $\frac{dy}{dx} = (1 + \tan^2(\frac{x+1}{x^2})) \cdot \frac{-x-2}{x^3}$

(11) $\frac{dy}{dx} = 6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)$

(12) $\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \tan^2(\sin(\log(x))))\cos(\log(x))}{x}$