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与えられた5つの積分計算の問題を解き、空欄を埋める問題です。

解析学積分不定積分定積分絶対値
2025/6/11
はい、承知いたしました。それぞれの問題について、順を追って解答と解説を記述します。

1. 問題の内容

与えられた5つの積分計算の問題を解き、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) ∫x0.6dx\int x^{0.6} dx
不定積分を計算します。xnx^nの積分は xn+1n+1\frac{x^{n+1}}{n+1} です。
0.6+1=1.6=850.6 + 1 = 1.6 = \frac{8}{5} なので、
∫x0.6dx=x8585+C=58x85+C\int x^{0.6} dx = \frac{x^{\frac{8}{5}}}{\frac{8}{5}} + C = \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C
したがって、空欄にはそれぞれ 58\frac{5}{8} 、 85\frac{8}{5} が入ります。
(2) ∫−13(x2+x−4)dx\int_{-1}^{3} (x^2 + x - 4) dx
定積分を計算します。
∫−13(x2+x−4)dx=[13x3+12x2−4x]−13\int_{-1}^{3} (x^2 + x - 4) dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 4x]_{-1}^{3}
=(13(3)3+12(3)2−4(3))−(13(−1)3+12(−1)2−4(−1))= (\frac{1}{3}(3)^3 + \frac{1}{2}(3)^2 - 4(3)) - (\frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 - 4(-1))
=(9+92−12)−(−13+12+4)=−3+92+13−12−4=−7+82+13=−3+13=−83= (9 + \frac{9}{2} - 12) - (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 4) = -3 + \frac{9}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 4 = -7 + \frac{8}{2} + \frac{1}{3} = -3 + \frac{1}{3} = -\frac{8}{3}
したがって、空欄には −83=−83-\frac{8}{3} = \frac{-8}{3} となるので -8 と 3が入ります。
(3) ∫152(x−1)(2x−5)dx\int_{1}^{\frac{5}{2}} (x-1)(2x-5) dx
定積分を計算します。まず積分の中身を展開します。
(x−1)(2x−5)=2x2−5x−2x+5=2x2−7x+5(x-1)(2x-5) = 2x^2 - 5x - 2x + 5 = 2x^2 - 7x + 5
∫152(2x2−7x+5)dx=[23x3−72x2+5x]152\int_{1}^{\frac{5}{2}} (2x^2 - 7x + 5) dx = [\frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 5x]_{1}^{\frac{5}{2}}
=(23(52)3−72(52)2+5(52))−(23(1)3−72(1)2+5(1))= (\frac{2}{3}(\frac{5}{2})^3 - \frac{7}{2}(\frac{5}{2})^2 + 5(\frac{5}{2})) - (\frac{2}{3}(1)^3 - \frac{7}{2}(1)^2 + 5(1))
=(23⋅1258−72⋅254+252)−(23−72+5)= (\frac{2}{3} \cdot \frac{125}{8} - \frac{7}{2} \cdot \frac{25}{4} + \frac{25}{2}) - (\frac{2}{3} - \frac{7}{2} + 5)
=(12512−1758+252)−(4−21+306)=(250−525+30024)−(136)= (\frac{125}{12} - \frac{175}{8} + \frac{25}{2}) - (\frac{4 - 21 + 30}{6}) = (\frac{250 - 525 + 300}{24}) - (\frac{13}{6})
=2524−5224=−2724=−98= \frac{25}{24} - \frac{52}{24} = -\frac{27}{24} = -\frac{9}{8}
したがって、空欄には −98=−98-\frac{9}{8} = \frac{-9}{8} となるので -9 と 8が入ります。
(4) ∫−23(x3+3x2−5x−1)dx+∫32(x3+3x2−5x−1)dx\int_{-2}^{3} (x^3 + 3x^2 - 5x - 1) dx + \int_{3}^{2} (x^3 + 3x^2 - 5x - 1) dx
定積分を計算します。 2つ目の積分区間が 33 から 22 になっているので、22 から 33 に変更し、符号を反転させます。
∫−23(x3+3x2−5x−1)dx−∫23(x3+3x2−5x−1)dx\int_{-2}^{3} (x^3 + 3x^2 - 5x - 1) dx - \int_{2}^{3} (x^3 + 3x^2 - 5x - 1) dx
=∫−22(x3+3x2−5x−1)dx+∫23(x3+3x2−5x−1)dx−∫23(x3+3x2−5x−1)dx= \int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - 5x - 1) dx + \int_{2}^{3} (x^3 + 3x^2 - 5x - 1) dx - \int_{2}^{3} (x^3 + 3x^2 - 5x - 1) dx
=∫−22(x3+3x2−5x−1)dx= \int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - 5x - 1) dx
=[14x4+x3−52x2−x]−22=(14(2)4+(2)3−52(2)2−(2))−(14(−2)4+(−2)3−52(−2)2−(−2))= [\frac{1}{4}x^4 + x^3 - \frac{5}{2}x^2 - x]_{-2}^{2} = (\frac{1}{4}(2)^4 + (2)^3 - \frac{5}{2}(2)^2 - (2)) - (\frac{1}{4}(-2)^4 + (-2)^3 - \frac{5}{2}(-2)^2 - (-2))
=(4+8−10−2)−(4−8−10+2)=0−(−12)=12= (4 + 8 - 10 - 2) - (4 - 8 - 10 + 2) = 0 - (-12) = 12
したがって、空欄には 12 が入ります。
(5) ∫02∣x2−2∣dx\int_{0}^{2} |x^2 - 2| dx
絶対値の中身の符号で場合分けします。x2−2=0x^2 - 2 = 0 となるのは x=±2x = \pm \sqrt{2} です。積分区間は 0≤x≤20 \le x \le 2 なので、0≤x≤20 \le x \le \sqrt{2} で x2−2≤0x^2 - 2 \le 0 、2≤x≤2\sqrt{2} \le x \le 2 で x2−2≥0x^2 - 2 \ge 0 となります。
∫02∣x2−2∣dx=∫02(2−x2)dx+∫22(x2−2)dx\int_{0}^{2} |x^2 - 2| dx = \int_{0}^{\sqrt{2}} (2 - x^2) dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (x^2 - 2) dx
=[2x−13x3]02+[13x3−2x]22= [2x - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{\sqrt{2}} + [\frac{1}{3}x^3 - 2x]_{\sqrt{2}}^{2}
=(22−13(22))−0+(13(8)−4)−(13(22)−22)= (2\sqrt{2} - \frac{1}{3}(2\sqrt{2})) - 0 + (\frac{1}{3}(8) - 4) - (\frac{1}{3}(2\sqrt{2}) - 2\sqrt{2})
=22−223+83−4−223+22=42−423+8−123= 2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{8}{3} - 4 - \frac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{8 - 12}{3}
=122−423−43=82−43=823−43= \frac{12\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} = \frac{8\sqrt{2} - 4}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3}
したがって、空欄にはそれぞれ 83\frac{8}{3} 、2 、4、3が入ります。

3. 最終的な答え

(1) 58x85+C\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C
したがって、空欄にはそれぞれ 5, 8, 8, 5が入ります。
(2) −83-\frac{8}{3}
したがって、空欄にはそれぞれ -8, 3が入ります。
(3) −98-\frac{9}{8}
したがって、空欄にはそれぞれ -9, 8が入ります。
(4) 1212
したがって、空欄には 12 が入ります。
(5) 82−43\frac{8\sqrt{2} - 4}{3}
したがって、空欄にはそれぞれ 8, 2, 4, 3が入ります。

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