次の条件を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。 (1) $f'(x) = 4x - 4$, $f(1) = 1$ (2) $f(x) = 3x^2 + (3x - 2)\int_{-1}^{1} f(t) dt$ (3) $\int_{a}^{x} f(t) dt = ax^2 - 3x - 2$, $a < 0$

1. 問題の内容

次の条件を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。

(1) $f'(x) = 4x - 4$, $f(1) = 1$

(2) $f(x) = 3x^2 + (3x - 2)\int_{-1}^{1} f(t) dt$

(3) $\int_{a}^{x} f(t) dt = ax^2 - 3x - 2$, $a < 0$

2. 解き方の手順

(1)

$f'(x) = 4x - 4$ を積分すると、

$f(x) = \int (4x - 4) dx = 2x^2 - 4x + C$ となります。

ここで、$f(1) = 1$ という条件があるので、

$f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + C = 2 - 4 + C = -2 + C = 1$

よって、$C = 3$ となります。

したがって、$f(x) = 2x^2 - 4x + 3$

(2)

$\int_{-1}^{1} f(t) dt$ を定数 $k$ とおくと、$f(x) = 3x^2 + (3x - 2)k$ となります。

ここで、$k = \int_{-1}^{1} f(t) dt = \int_{-1}^{1} (3t^2 + (3t - 2)k) dt = \int_{-1}^{1} (3t^2 + 3kt - 2k) dt$

$= [t^3 + \frac{3}{2}kt^2 - 2kt]_{-1}^{1} = (1 + \frac{3}{2}k - 2k) - (-1 + \frac{3}{2}k + 2k) = 2 - 4k$

よって、$k = 2 - 4k$ より、$5k = 2$ なので、$k = \frac{2}{5}$ となります。

したがって、$f(x) = 3x^2 + (3x - 2) \cdot \frac{2}{5} = 3x^2 + \frac{6}{5}x - \frac{4}{5}$

(3)

$\int_{a}^{x} f(t) dt = ax^2 - 3x - 2$ の両辺を $x$ で微分すると、

$f(x) = 2ax - 3$ となります。

また、$x = a$ を代入すると、$\int_{a}^{a} f(t) dt = 0 = a(a)^2 - 3a - 2 = a^3 - 3a - 2$

$a^3 - 3a - 2 = (a + 1)(a^2 - a - 2) = (a + 1)(a + 1)(a - 2) = (a + 1)^2(a - 2) = 0$

ここで、$a < 0$ なので、$a = -1$ となります。

したがって、$f(x) = 2(-1)x - 3 = -2x - 3$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 2x^2 - 4x + 3$

(2) $f(x) = 3x^2 + \frac{6}{5}x - \frac{4}{5}$

(3) $f(x) = -2x - 3$