$50^{11}$ を $11$ で割った余りを求めます。

1. 問題の内容

$50^{11}$ を $11$ で割った余りを求めます。

2. 解き方の手順

まず、$50$ を $11$ で割った余りを求めます。

$50 = 11 \times 4 + 6$ なので、$50$ を $11$ で割った余りは $6$ です。

したがって、$50 \equiv 6 \pmod{11}$ となります。

したがって、$50^{11} \equiv 6^{11} \pmod{11}$ です。

ここで、$6^2 = 36 = 11 \times 3 + 3$ なので、$6^2 \equiv 3 \pmod{11}$ です。

また、$6^3 \equiv 6 \times 3 \equiv 18 \equiv 7 \pmod{11}$ です。

$6^4 \equiv 6 \times 7 \equiv 42 \equiv 9 \pmod{11}$ です。

$6^5 \equiv 6 \times 9 \equiv 54 \equiv 10 \equiv -1 \pmod{11}$ です。

よって、$6^{10} \equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod{11}$ です。

$6^{11} = 6^{10} \times 6 \equiv 1 \times 6 \equiv 6 \pmod{11}$ です。

したがって、$50^{11}$ を $11$ で割った余りは $6$ です。

3. 最終的な答え

6