$50^{11}$ を $11$ で割った余りを求めます。

数論合同式剰余フェルマーの小定理

2025/6/11

1. 問題の内容

50^{11}

を

11

で割った余りを求めます。

2. 解き方の手順

まず、

50

を

11

で割った余りを求めます。

50 = 11 \times 4 + 6

なので、

50

を

11

で割った余りは

6

です。

したがって、

50 \equiv 6 \pmod{11}

となります。

したがって、

50^{11} \equiv 6^{11} \pmod{11}

です。

ここで、

6^2 = 36 = 11 \times 3 + 3

なので、

6^2 \equiv 3 \pmod{11}

です。

また、

6^3 \equiv 6 \times 3 \equiv 18 \equiv 7 \pmod{11}

です。

6^4 \equiv 6 \times 7 \equiv 42 \equiv 9 \pmod{11}

です。

6^5 \equiv 6 \times 9 \equiv 54 \equiv 10 \equiv -1 \pmod{11}

です。

よって、

6^{10} \equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod{11}

です。

6^{11} = 6^{10} \times 6 \equiv 1 \times 6 \equiv 6 \pmod{11}

です。

したがって、

50^{11}

を

11

で割った余りは

6

です。

3. 最終的な答え

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