(1) 3点 $(3, 0)$, $(-1, 0)$, $(2, 6)$ を通る2次関数を求める。 (2) 頂点が放物線 $y = 2x^2 + 4x + 1$ の頂点と一致し、$y$軸と点 $(0, 2)$ で交わる2次関数を求める。

1. 問題の内容

(1) 3点 $(3, 0)$, $(-1, 0)$, $(2, 6)$ を通る2次関数を求める。

(2) 頂点が放物線 $y = 2x^2 + 4x + 1$ の頂点と一致し、$y$軸と点 $(0, 2)$ で交わる2次関数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

$x$切片が3と-1なので、$y = a(x - 3)(x + 1)$ とおける。

点 $(2, 6)$ を通るので、$x = 2$, $y = 6$ を代入する。

$6 = a(2 - 3)(2 + 1)$

$6 = a(-1)(3)$

$6 = -3a$

$a = -2$

よって、$y = -2(x - 3)(x + 1)$

$y = -2(x^2 - 2x - 3)$

$y = -2x^2 + 4x + 6$

(2)

$y = 2x^2 + 4x + 1$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 2x) + 1$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = 2((x + 1)^2 - 1) + 1$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 + 1$

$y = 2(x + 1)^2 - 1$

頂点は $(-1, -1)$ である。

求める2次関数を $y = a(x + 1)^2 - 1$ とおく。

$y$軸との交点が $(0, 2)$ なので、$x = 0$, $y = 2$ を代入する。

$2 = a(0 + 1)^2 - 1$

$2 = a - 1$

$a = 3$

よって、$y = 3(x + 1)^2 - 1$

$y = 3(x^2 + 2x + 1) - 1$

$y = 3x^2 + 6x + 3 - 1$

$y = 3x^2 + 6x + 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 4x + 6$

(2) $y = 3x^2 + 6x + 2$