問題文は以下の通りです。 a, bはともにゼロベクトルではなく、かつ平行ではない。 (4) $sa + tb = 0$ ならば $s = t = 0$ であることを示せ。 (5) 次の式を満たす $x, y$ を求めよ。 $x(a - 2b) + y(-a + b) = 4a - 7b$ (6) $OP = a + 2b, OQ = 3a - b, OR = -2a + tb$ とする。P, Q, Rが同一直線上に存在するようにtの値を定めよ。

1. 問題の内容

問題文は以下の通りです。

a, bはともにゼロベクトルではなく、かつ平行ではない。

(4) $sa + tb = 0$ ならば $s = t = 0$ であることを示せ。

(5) 次の式を満たす $x, y$ を求めよ。

$x(a - 2b) + y(-a + b) = 4a - 7b$

(6) $OP = a + 2b, OQ = 3a - b, OR = -2a + tb$ とする。P, Q, Rが同一直線上に存在するようにtの値を定めよ。

2. 解き方の手順

(4) $sa + tb = 0$

aとbは平行ではないので、一次独立である。

したがって、$s = 0$ かつ $t = 0$

(5) $x(a - 2b) + y(-a + b) = 4a - 7b$

$(x-y)a + (-2x+y)b = 4a - 7b$

aとbは一次独立なので、

$x - y = 4$

$-2x + y = -7$

これらの連立方程式を解く。

$x - y = 4$ より $y = x - 4$

$-2x + (x - 4) = -7$

$-x - 4 = -7$

$-x = -3$

$x = 3$

$y = 3 - 4 = -1$

したがって、$x = 3, y = -1$

(6) P, Q, Rが同一直線上にあるので、$\vec{PQ} = k\vec{PR}$となる実数kが存在する。

$\vec{OP} = \vec{a} + 2\vec{b}$

$\vec{OQ} = 3\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{OR} = -2\vec{a} + t\vec{b}$

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (3\vec{a} - \vec{b}) - (\vec{a} + 2\vec{b}) = 2\vec{a} - 3\vec{b}$

$\vec{PR} = \vec{OR} - \vec{OP} = (-2\vec{a} + t\vec{b}) - (\vec{a} + 2\vec{b}) = -3\vec{a} + (t-2)\vec{b}$

$\vec{PQ} = k\vec{PR}$より

$2\vec{a} - 3\vec{b} = k(-3\vec{a} + (t-2)\vec{b})$

$2\vec{a} - 3\vec{b} = -3k\vec{a} + k(t-2)\vec{b}$

aとbは一次独立なので、

$2 = -3k$

$-3 = k(t-2)$

$k = -\frac{2}{3}$

$-3 = -\frac{2}{3}(t-2)$

$\frac{9}{2} = t - 2$

$t = \frac{9}{2} + 2 = \frac{9}{2} + \frac{4}{2} = \frac{13}{2}$

したがって、$t = \frac{13}{2}$

3. 最終的な答え

(4) $s = t = 0$

(5) $x = 3, y = -1$

(6) $t = \frac{13}{2}$