中心が$(-3, 4)$で、円 $x^2 + y^2 = 4$ と接する円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

中心が$(-3, 4)$で、円 $x^2 + y^2 = 4$ と接する円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円 $x^2 + y^2 = 4$ の中心と半径を求めます。

これは、中心が原点$(0, 0)$、半径が $2$ の円です。

次に、求める円の中心が $(-3, 4)$ であることを利用して、2つの円の中心間の距離 $d$ を計算します。

$$d = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

2つの円が接するという条件から、求める円の半径 $r$ は、2つの場合があります。

(1) 2つの円が外接する場合：$r = d + 2 = 5 + 2 = 7$

(2) 2つの円が内接する場合：$r = |d - 2| = |5 - 2| = 3$

したがって、求める円の方程式は、中心が $(-3, 4)$ で半径が $7$ または $3$ である円の方程式になります。

(1) 半径が $7$ の場合、円の方程式は $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 7^2 = 49$

(2) 半径が $3$ の場合、円の方程式は $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 3^2 = 9$

3. 最終的な答え

$(x+3)^2+(y-4)^2=49$

$(x+3)^2+(y-4)^2=9$