三角形ABCにおいて、辺BCを3:4に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APとBQの交点をRとする。このとき、AR:RPとBR:RQを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを3:4に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APとBQの交点をRとする。このとき、AR:RPとBR:RQを求める。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を使うことで解くことができます。

まず、チェバの定理からAR:RPを求めます。

チェバの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QA}{AR} = 1$

ここで、BP:PC = 3:4なので、BC = BP + PC = 3 + 4 = 7とすると、BP = 3, PC = 4。

また、CQ:QA = 2:3なので、CA = CQ + QA = 2 + 3 = 5とすると、CQ = 2, QA = 3。

よって、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{AR}{RB} = 2$

次に、メネラウスの定理からAR:RPを求めます。

三角形BCQにおいて、直線APについてメネラウスの定理より、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QR}{RB} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{QR}{RB} = 1$

$\frac{5}{4} \cdot \frac{QR}{RB} = 1$

$\frac{QR}{RB} = \frac{4}{5}$

よって、BQ = BR + RQなので、BR:RQ = 5:4

次に、三角形ACPについて、直線BQに対してメネラウスの定理より、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BP} \cdot \frac{PR}{RA} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{PR}{RA} = 1$

$\frac{7}{2} \cdot \frac{PR}{RA} = 1$

$\frac{PR}{RA} = \frac{2}{7}$

よって、AR:RP = 7:2

3. 最終的な答え

AR:RP = 7:2

BR:RQ = 5:4