与えられた命題を対偶を利用して証明する問題です。 (1) $x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$ (2) $x+y > 3 \implies$ 「$x > 2$ または $y > 1$」 (3) $n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない。 (4) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。

1. 問題の内容

与えられた命題を対偶を利用して証明する問題です。

(1) $x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$

(2) $x+y > 3 \implies$ 「$x > 2$ または $y > 1$」

(3) $n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない。

(4) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。

2. 解き方の手順

対偶を考えて、それぞれの命題を証明します。

(1) $x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$

対偶は $x = 1 \implies x^3 = 1$

$x=1$ を代入すると $x^3 = 1^3 = 1$ となり、真である。したがって、元の命題も真である。

(2) $x+y > 3 \implies$ 「$x > 2$ または $y > 1$」

対偶は 「$x \leq 2$ かつ $y \leq 1$」$\implies x+y \leq 3$

$x \leq 2$ かつ $y \leq 1$ であるとき、$x+y \leq 2+1 = 3$ となり、真である。したがって、元の命題も真である。

(3) $n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない。

対偶は $n$ が3の倍数ならば、$n^2$ は3の倍数である。

$n$ が3の倍数であるとき、$n = 3k$ (kは整数)と表せる。

$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ となり、$n^2$ は3の倍数である。したがって、元の命題も真である。

(4) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。

対偶は $n$ が奇数ならば、$n^3 + 1$ は偶数である。

$n$ が奇数であるとき、$n = 2k+1$ (kは整数)と表せる。

$n^3+1 = (2k+1)^3 + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 2 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k + 1)$ となり、$n^3+1$ は偶数である。したがって、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

(1) $x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$ は真である。

(2) $x+y > 3 \implies$ 「$x > 2$ または $y > 1$」は真である。

(3) $n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない は真である。

(4) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である は真である。