$a$ を正の定数とする。自然数 $n$ に対して、座標平面上の点 $A_n$, $B_n$ を以下の条件 (i)~(iv) を満たすように定める。 (i) $A_1$ の座標は $(a, 0)$ である。 (ii) $A_n$ と $B_n$ の $x$ 座標は等しい。 (iii) $B_n$ は双曲線 $y = \frac{1}{x}$ 上の点である。 (iv) $A_{n+1}$ は $y = \frac{1}{x}$ の $B_n$ における接線と $x$ 軸の交点である。 (1) $y = \frac{1}{x}$ の $B_1$ における接線の方程式を求める。 (2) $A_n$, $B_n$ の座標を求める。 (3) 三角形 $A_n B_n A_{n+1}$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積 $V_n$ を求める。 (4) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} V_n$ の和を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。自然数 $n$ に対して、座標平面上の点 $A_n$, $B_n$ を以下の条件 (i)~(iv) を満たすように定める。

(i) $A_1$ の座標は $(a, 0)$ である。

(ii) $A_n$ と $B_n$ の $x$ 座標は等しい。

(iii) $B_n$ は双曲線 $y = \frac{1}{x}$ 上の点である。

(iv) $A_{n+1}$ は $y = \frac{1}{x}$ の $B_n$ における接線と $x$ 軸の交点である。

(1) $y = \frac{1}{x}$ の $B_1$ における接線の方程式を求める。

(2) $A_n$, $B_n$ の座標を求める。

(3) 三角形 $A_n B_n A_{n+1}$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積 $V_n$ を求める。

(4) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} V_n$ の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) $B_1$ の $x$ 座標を $x_1$ とすると、$B_1$ の座標は $(x_1, \frac{1}{x_1})$ である。条件 (ii) より $A_1$ と $B_1$ の $x$ 座標は等しいので、$x_1 = a$ である。したがって、$B_1$ の座標は $(a, \frac{1}{a})$ となる。

$y = \frac{1}{x}$ の微分は $y' = -\frac{1}{x^2}$ である。$B_1$ における接線の傾きは $-\frac{1}{a^2}$ である。

$B_1$ における接線の方程式は

$y - \frac{1}{a} = -\frac{1}{a^2}(x - a)$

$y = -\frac{1}{a^2}x + \frac{1}{a} + \frac{1}{a}$

$y = -\frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a}$

(2) $A_{n+1}$ は $y = \frac{1}{x}$ の $B_n$ における接線と $x$ 軸の交点である。$B_n$ の座標を $(x_n, \frac{1}{x_n})$ とする。

$y' = -\frac{1}{x^2}$ より、$B_n$ における接線の傾きは $-\frac{1}{x_n^2}$ である。

$B_n$ における接線の方程式は

$y - \frac{1}{x_n} = -\frac{1}{x_n^2}(x - x_n)$

$y = -\frac{1}{x_n^2}x + \frac{1}{x_n} + \frac{1}{x_n}$

$y = -\frac{1}{x_n^2}x + \frac{2}{x_n}$

$A_{n+1}$ はこの接線と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入して

$0 = -\frac{1}{x_n^2}x + \frac{2}{x_n}$

$\frac{1}{x_n^2}x = \frac{2}{x_n}$

$x = 2x_n$

したがって、$A_{n+1}$ の $x$ 座標は $2x_n$ である。

$A_n$ の $x$ 座標を $x_n$ とすると、$x_{n+1} = 2x_n$ となる。これは等比数列なので、$x_n = x_1 \cdot 2^{n-1}$ である。

$x_1 = a$ より、$x_n = a \cdot 2^{n-1}$ である。

したがって、$A_n$ の座標は $(a \cdot 2^{n-1}, 0)$ であり、$B_n$ の座標は $(a \cdot 2^{n-1}, \frac{1}{a \cdot 2^{n-1}})$ である。

(3) 三角形 $A_n B_n A_{n+1}$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積 $V_n$ は、底面の半径が $\frac{1}{a \cdot 2^{n-1}}$ で、高さが $A_n A_{n+1} = x_{n+1} - x_n = 2x_n - x_n = x_n = a \cdot 2^{n-1}$ の円錐の体積である。

$V_n = \frac{1}{3} \pi (\frac{1}{a \cdot 2^{n-1}})^2 (a \cdot 2^{n-1}) = \frac{\pi}{3} \frac{1}{a^2 2^{2n-2}} a 2^{n-1} = \frac{\pi}{3 a 2^{n-1}}$

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} V_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{3 a 2^{n-1}} = \frac{\pi}{3a} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{\pi}{3a} \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\pi}{3a} \cdot 2 = \frac{2\pi}{3a}$

1: 7, 2: 5, 3: 2, 4: 5

5: 5, 6: 2, 7: 5, 8: 2, 9: 7, 10: 2

11: 6, 12: 3

13: 2, 14: 6

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a}$

(2) $A_n(a2^{n-1}, 0)$, $B_n(a2^{n-1}, \frac{1}{a2^{n-1}})$

(3) $V_n = \frac{\pi}{3 a 2^{n-1}}$

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} V_n = \frac{2\pi}{3a}$