与えられた問題は、数式、不等式、連立方程式、および対数に関する問題を含む、複数の小問から構成されています。具体的には、指数関数、対数関数を含む方程式や不等式を解いたり、変数の条件から関数の最小値を求めたりする問題です。また、常用対数の応用問題も含まれています。

1. 問題の内容

与えられた問題は、数式、不等式、連立方程式、および対数に関する問題を含む、複数の小問から構成されています。具体的には、指数関数、対数関数を含む方程式や不等式を解いたり、変数の条件から関数の最小値を求めたりする問題です。また、常用対数の応用問題も含まれています。

2. 解き方の手順

問題文に複数の小問が含まれているため、それぞれの手順を説明します。

* 133 (1):

ア) $3^{2x} - 2 \cdot 3^{x+1} - 27 = 0$ を解く。$t = 3^x$ とおくと、$t^2 - 6t - 27 = 0$ となり、$(t-9)(t+3) = 0$。$t>0$ より、$t = 9$。したがって、$3^x = 9$ より $x = 2$。

イ) $\log_2 x + \log_2 (x-3) = 2$ を解く。真数条件より、$x>0$ かつ $x-3>0$ つまり $x>3$。$\log_2 (x(x-3)) = 2$ より、$x(x-3) = 4$。$x^2 - 3x - 4 = 0$。$(x-4)(x+1) = 0$。$x>3$ より、$x=4$。

ウ) $2 \log_2 x + 2 \log_4 (x+3) = 1$ を解く。真数条件より、$x>0$ かつ $x+3>0$ つまり $x>0$。$\log_2 x^2 + \log_2 \sqrt{x+3} = 1$。$\log_2 (x^2 \sqrt{x+3}) = 1$。$x^2 \sqrt{x+3} = 2$。$x=1$が解となりうるか確認すると、$1\sqrt{4}=2$なので、$x=1$は解。

エ) $18 \cdot 3^x + 7 > 3^{-x}$。$3^x = t$ とおく。$18t+7>\frac{1}{t}$。両辺に$t$をかける。$18t^2 + 7t > 1$。$18t^2 + 7t - 1 > 0$。 $(2t+1)(9t-1)>0$。$t > \frac{1}{9}$。$3^x > 3^{-2}$。$x>-2$。

オ) $2 \log_{\frac{1}{2}} (x-1) < \log_{\frac{1}{2}} (7-x)$を解く。真数条件より、$x-1 > 0$かつ$7-x>0$なので、$1 < x < 7$。$\log_{\frac{1}{2}} (x-1)^2 < \log_{\frac{1}{2}} (7-x)$。底が１より小さいので、$(x-1)^2 > 7-x$。$x^2 - 2x + 1 > 7 - x$。$x^2 - x - 6 > 0$。$(x-3)(x+2)>0$。$x<-2$ または $x>3$。真数条件より、$3 < x < 7$。

カ) $(\log_3 x)^2 + 2 \log_3 x - 3 \le 0$ を解く。$\log_3 x = t$ とおくと、$t^2 + 2t - 3 \le 0$。$(t+3)(t-1) \le 0$。 $-3 \le t \le 1$。 $-3 \le \log_3 x \le 1$。$3^{-3} \le x \le 3^1$。$\frac{1}{27} \le x \le 3$。

* 133 (2):

$y = 4^x - 2^{x+3} + 13 = (2^x)^2 - 8 \cdot 2^x + 13$ を平方完成させる。$y = (2^x - 4)^2 - 3$。$2^x = 4$ つまり $x=2$ のとき、最小値 $-3$ をとる。

* 135 (3):

連立方程式 $\begin{cases} 4 (\log_{10} x)^2 + 2 \log_{10} y = 1 \\ x^2 y = 10 \end{cases}$を解く。

第2式から、$\log_{10} (x^2 y) = \log_{10} 10 = 1$。$2 \log_{10} x + \log_{10} y = 1$。$\log_{10} y = 1 - 2 \log_{10} x$。

これを第1式に代入する。$4 (\log_{10} x)^2 + 2 (1 - 2 \log_{10} x) = 1$。$4 (\log_{10} x)^2 - 4 \log_{10} x + 1 = 0$。$(2 \log_{10} x - 1)^2 = 0$。 $\log_{10} x = \frac{1}{2}$。$x = \sqrt{10}$。

$\log_{10} y = 1 - 2 \log_{10} x = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0$。$y = 10^0 = 1$。

したがって、$(x, y) = (\sqrt{10}, 1)$。

* 137:

細菌は1分間で6倍になるので、$n$分後には$36 \cdot 6^{n-3}$個。これが$10^8$個以上になるのはいつか。

$36 \cdot 6^{n-3} \ge 10^8$。 $6^2 \cdot 6^{n-3} \ge 10^8$。 $6^{n-1} \ge 10^8$。

両辺の常用対数をとる。$(n-1) \log_{10} 6 \ge 8$。 $(n-1) (\log_{10} 2 + \log_{10} 3) \ge 8$。 $(n-1) (0.3010 + 0.4771) \ge 8$。 $(n-1) (0.7781) \ge 8$。 $n-1 \ge \frac{8}{0.7781} \approx 10.28$。 $n \ge 11.28$。 $n$は整数なので、 $n = 12$。したがって $N = 12$。

$N$分後の細菌の個数は $36 \cdot 6^{12-3} = 36 \cdot 6^9 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 2^9 \cdot 3^9 = 2^{11} \cdot 3^{11} = 6^{11}$。 $6^{11}= (10^{log_{10}6})^{11}= 10^{11log_{10}6}=10^{11log_{10}2+11log_{10}3} = 10^{11(0.3010)+11(0.4771)}=10^{3.311+5.2481} = 10^{8.5591} = 10^{0.5591} * 10^8$。

$0.5591$の対数を調べると$3.62$。よって$3.62*10^8$となる。

ここで聞かれているのは$M \times 10^{8}$なので$M=3.62$となる。しかし整数で答えなさいと書いてないので、$M=3$

3. 最終的な答え

具体的な数値は問題文に空欄があるので、133(2)の結果のみ記載します。

x = 2のとき、最小値 -3をとる。

137の結果

N = 12

M = 3