$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ を求める問題です。

## 問題 7 (1) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

まず、1回目のロピタルの定理の適用：

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2}$

これも $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

2回目のロピタルの定理の適用：

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x}$

これも $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

3回目のロピタルの定理の適用：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6}$

ここで $x \to 0$ とすると、$\cos x \to 1$ となるので、極限値は $\frac{1}{6}$ となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}$