問題は、以下の6つの極限値を求めることです。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{1 + x^2}$ (3) $\lim_{x \to +0} (\frac{1}{x})^{\sin x}$ (4) $\lim_{x \to \infty} x(a^{\frac{1}{x}} - 1) \quad (a > 0)$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \frac{1}{1 - x^2}}{x^2}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x\sqrt{x + 1}}{x^3}$

はい、承知いたしました。次の極限値を求める問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は、以下の6つの極限値を求めることです。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{1 + x^2}$

(3) $\lim_{x \to +0} (\frac{1}{x})^{\sin x}$

(4) $\lim_{x \to \infty} x(a^{\frac{1}{x}} - 1) \quad (a > 0)$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \frac{1}{1 - x^2}}{x^2}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x\sqrt{x + 1}}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\sin x$ のテイラー展開を利用することもできます。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

よって、

$x - \sin x = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \dots$

$\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6} - \frac{x^2}{120} + \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{1 + x^2}$

$x \to \infty$ のとき、$e^x$ が支配的になるので、

$\log(1 + e^x) \approx \log(e^x) = x$

よって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{1 + x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{1 + x^2} = 0$

(3) $\lim_{x \to +0} (\frac{1}{x})^{\sin x}$

$y = (\frac{1}{x})^{\sin x}$ とおくと、

$\log y = \sin x \log (\frac{1}{x}) = -\sin x \log x$

$\lim_{x \to +0} \sin x \log x = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{\sin x}}$ は $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理が使える。

$\lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = \lim_{x \to +0} -\frac{\sin^2 x}{x \cos x} = \lim_{x \to +0} -\frac{\sin x}{x} \frac{\sin x}{\cos x} = 0$

したがって、$\lim_{x \to +0} \log y = 0$ なので、$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$

(4) $\lim_{x \to \infty} x(a^{\frac{1}{x}} - 1) \quad (a > 0)$

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$

$\lim_{t \to 0} \frac{a^t - 1}{t}$

これは $a^t$ の $t = 0$ における微分係数であり、$\log a$ に等しい。

$\lim_{t \to 0} \frac{a^t - 1}{t} = \log a$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \frac{1}{1 - x^2}}{x^2}$

$\frac{1}{1 - x^2} = 1 + x^2 + x^4 + \dots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots$

$\cos x - \frac{1}{1 - x^2} = (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots) - (1 + x^2 + x^4 + \dots) = -\frac{3}{2} x^2 + O(x^4)$

$\frac{\cos x - \frac{1}{1 - x^2}}{x^2} = -\frac{3}{2} + O(x^2)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \frac{1}{1 - x^2}}{x^2} = -\frac{3}{2}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x\sqrt{x + 1}}{x^3}$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$

$\sqrt{x+1} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + O(x^4)$

$x\sqrt{x+1} = x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^3 + O(x^4)$

$e^x - 1 - x\sqrt{x + 1} = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)) - 1 - (x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^3 + O(x^4)) = \frac{7}{24}x^3 + O(x^4)$

$\frac{e^x - 1 - x\sqrt{x + 1}}{x^3} = \frac{7}{24} + O(x)$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x\sqrt{x + 1}}{x^3} = \frac{7}{24}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $0$

(3) $1$

(4) $\log a$

(5) $-\frac{3}{2}$

(6) $\frac{7}{24}$