次の関数について、不定積分を求める問題です。 (1) $e^x \sqrt{e^x + 1}$ (2) $\frac{x}{(x-1)^3}$ (3) $\frac{x}{x^2 - 3x + 2}$ (4) $\cos^5 x$ (5) $\frac{1}{e^x - e^{-x}}$ (6) $2x \log(x^2 + 1)$

## 問題1の(1)～(6)の不定積分を求める問題

1. 問題の内容

次の関数について、不定積分を求める問題です。

(1) $e^x \sqrt{e^x + 1}$

(2) $\frac{x}{(x-1)^3}$

(3) $\frac{x}{x^2 - 3x + 2}$

(4) $\cos^5 x$

(5) $\frac{1}{e^x - e^{-x}}$

(6) $2x \log(x^2 + 1)$

2. 解き方の手順

**(1) $e^x \sqrt{e^x + 1}$**

置換積分を行います。$u = e^x + 1$ とおくと、$du = e^x dx$ となります。

したがって、

$\int e^x \sqrt{e^x + 1} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{1/2} du = \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{3}(e^x + 1)^{3/2} + C$

**(2) $\frac{x}{(x-1)^3}$**

置換積分を行います。$u = x - 1$ とおくと、$x = u + 1$、$dx = du$ となります。

したがって、

$\int \frac{x}{(x-1)^3} dx = \int \frac{u + 1}{u^3} du = \int (u^{-2} + u^{-3}) du = -u^{-1} - \frac{1}{2}u^{-2} + C = -\frac{1}{x-1} - \frac{1}{2(x-1)^2} + C$

**(3) $\frac{x}{x^2 - 3x + 2}$**

部分分数分解を行います。$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ であるから、

$\frac{x}{x^2 - 3x + 2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$

$x = A(x-2) + B(x-1)$

$x = 1$ のとき $1 = -A$ より $A = -1$

$x = 2$ のとき $2 = B$

したがって、

$\int \frac{x}{x^2 - 3x + 2} dx = \int \left( -\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} \right) dx = -\log|x-1| + 2\log|x-2| + C = \log \frac{(x-2)^2}{|x-1|} + C$

**(4) $\cos^5 x$**

$\cos^5 x = \cos^4 x \cos x = (\cos^2 x)^2 \cos x = (1 - \sin^2 x)^2 \cos x$

$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x dx$

$\int \cos^5 x dx = \int (1 - u^2)^2 du = \int (1 - 2u^2 + u^4) du = u - \frac{2}{3}u^3 + \frac{1}{5}u^5 + C = \sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{5}\sin^5 x + C$

**(5) $\frac{1}{e^x - e^{-x}}$**

$\frac{1}{e^x - e^{-x}} = \frac{1}{e^x - \frac{1}{e^x}} = \frac{e^x}{e^{2x} - 1}$

$u = e^x$ とおくと、$du = e^x dx$

$\int \frac{1}{e^x - e^{-x}} dx = \int \frac{e^x}{e^{2x} - 1} dx = \int \frac{1}{u^2 - 1} du = \int \frac{1}{(u-1)(u+1)} du$

$\frac{1}{u^2 - 1} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1}$

$1 = A(u+1) + B(u-1)$

$u = 1$ のとき $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$u = -1$ のとき $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

$\int \frac{1}{u^2 - 1} du = \frac{1}{2}\int \left( \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1} \right) du = \frac{1}{2}(\log|u-1| - \log|u+1|) + C = \frac{1}{2}\log\left| \frac{u-1}{u+1} \right| + C = \frac{1}{2}\log\left| \frac{e^x-1}{e^x+1} \right| + C$

**(6) $2x \log(x^2 + 1)$**

部分積分を行います。

$u = \log(x^2 + 1)$, $dv = 2x dx$ とおくと、$du = \frac{2x}{x^2+1} dx$, $v = x^2$ となります。

$\int 2x \log(x^2 + 1) dx = x^2 \log(x^2 + 1) - \int x^2 \frac{2x}{x^2 + 1} dx = x^2 \log(x^2 + 1) - \int \frac{2x^3}{x^2 + 1} dx$

ここで、$\int \frac{2x^3}{x^2 + 1} dx$ を計算します。

$\frac{2x^3}{x^2 + 1} = 2x - \frac{2x}{x^2 + 1}$ であるから、

$\int \frac{2x^3}{x^2 + 1} dx = \int \left( 2x - \frac{2x}{x^2 + 1} \right) dx = x^2 - \log(x^2 + 1) + C$

したがって、

$\int 2x \log(x^2 + 1) dx = x^2 \log(x^2 + 1) - (x^2 - \log(x^2 + 1)) + C = (x^2 + 1) \log(x^2 + 1) - x^2 + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}(e^x + 1)^{3/2} + C$

(2) $-\frac{1}{x-1} - \frac{1}{2(x-1)^2} + C$

(3) $\log \frac{(x-2)^2}{|x-1|} + C$

(4) $\sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{5}\sin^5 x + C$

(5) $\frac{1}{2}\log\left| \frac{e^x-1}{e^x+1} \right| + C$

(6) $(x^2 + 1) \log(x^2 + 1) - x^2 + C$