$\triangle ABC$ は $AB=AC$ の直角二等辺三角形である。$\triangle ADE$ は $\triangle ABC$ を頂点 $A$ を中心として回転移動させた三角形である。$AB$ と $DE$ の交点を $F$, $BC$ と $AE$ の交点を $G$ とする。このとき、$\triangle ABG \equiv \triangle AEF$ であることを証明せよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ は $AB=AC$ の直角二等辺三角形である。$\triangle ADE$ は $\triangle ABC$ を頂点 $A$ を中心として回転移動させた三角形である。$AB$ と $DE$ の交点を $F$, $BC$ と $AE$ の交点を $G$ とする。このとき、$\triangle ABG \equiv \triangle AEF$ であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

$\triangle ABC$ と $\triangle ADE$ について、

$AB = AE$ （仮定）

$AC = AD$ （仮定）

$\angle BAC = \angle DAE = 90^\circ$ （仮定）

$\angle BAE = \angle BAC - \angle EAC = 90^\circ - \angle EAC$

$\angle DAG = \angle DAE - \angle GAE = 90^\circ - \angle GAE$

ここで、$AG$ は $BC$ と $AE$ の交点なので、$\angle BAG$ を考える。

$\angle BAG = \angle BAC - \angle GAC$

$\angle GAC = \angle EAC$ なので、

$\angle BAG = 90^\circ - \angle EAC$

よって、$\angle BAE = \angle CAG$ が成り立つ。

次に、$\triangle ABG$ と $\triangle AEF$ について考える。

$AB = AE$ （仮定）

$\angle BAG = \angle EAF$ (同じ角)

$\angle BAE = \angle CAG$ より $\angle BAF = \angle CAG$

$AF = AG$ (証明が必要)

$\angle CAB = \angle EAD = 90^\circ$

$\angle CAD = \angle CAD$

$\angle DAB = \angle CAE$

$\triangle ABD \equiv \triangle ACE$ （二辺とその間の角が等しい）

したがって、$AB = AE$, $AD = AC$ そして $\angle DAB = \angle CAE$。

さらに、$\angle BAC = \angle EAD = 90^\circ$ であり、

$\angle BAC + \angle CAE = \angle EAD + \angle CAE$ より $\angle BAE = \angle CAD$ が成り立つ。

$\triangle ABE$ と $\triangle ACD$ について、

$AB = AE$, $AC = AD$

$\angle BAE = \angle CAD$ より $\triangle ABE \equiv \triangle ACD$

$\triangle ABE \equiv \triangle ACD$ より $\angle ABE = \angle ACD$

$\angle ABG = \angle ACB = 45^\circ$ であり、$\angle AEF = \angle ACD$ であることから、

$\angle ABG = \angle AEF$ となる。

よって、$\triangle ABG$ と $\triangle AEF$ において、

$AB = AE$

$\angle ABG = \angle AEF$

$\angle BAG = \angle EAF$

したがって、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

$\triangle ABG \equiv \triangle AEF$

3. 最終的な答え

$\triangle ABG \equiv \triangle AEF$ が証明された。