三角形ABCがあり、$AB=7\sqrt{3}$、$∠ACB=60^\circ$が与えられています。三角形ABCの外接円Oの半径を求め、点Cを含む弧AB上で点Pを動かすとき、以下の値を求めます。 (1) $2PA = 3PB$ となるようなPAの値 (2) 三角形PABの面積が最大となるようなPAの値 (3) $sin∠PBA$が最大となるようなPAの値と、その時の三角形PABの面積

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AB=7\sqrt{3}$、$∠ACB=60^\circ$が与えられています。三角形ABCの外接円Oの半径を求め、点Cを含む弧AB上で点Pを動かすとき、以下の値を求めます。

(1) $2PA = 3PB$ となるようなPAの値

(2) 三角形PABの面積が最大となるようなPAの値

(3) $sin∠PBA$が最大となるようなPAの値と、その時の三角形PABの面積

2. 解き方の手順

(ア)外接円の半径Rを求める

正弦定理より、$\frac{AB}{sin∠ACB}=2R$

$AB = 7\sqrt{3}$、$∠ACB = 60^\circ$なので

$\frac{7\sqrt{3}}{sin60^\circ} = 2R$

$\frac{7\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$14 = 2R$

$R = 7$

(1) $2PA = 3PB$となる時のPAの値

$2PA = 3PB$より$PB = \frac{2}{3}PA$

余弦定理より

$AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2PA \cdot PB \cdot cos∠APB$

$∠APB = 180^\circ - ∠ACB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$(7\sqrt{3})^2 = PA^2 + (\frac{2}{3}PA)^2 - 2PA \cdot \frac{2}{3}PA \cdot cos120^\circ$

$147 = PA^2 + \frac{4}{9}PA^2 - \frac{4}{3}PA^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$147 = PA^2 + \frac{4}{9}PA^2 + \frac{2}{3}PA^2$

$147 = \frac{9}{9}PA^2 + \frac{4}{9}PA^2 + \frac{6}{9}PA^2$

$147 = \frac{19}{9}PA^2$

$PA^2 = \frac{147 \cdot 9}{19} = \frac{1323}{19}$

$PA = \sqrt{\frac{1323}{19}} = \sqrt{\frac{69 \cdot 19 + 12}{19}}$

$PA = 3\sqrt{\frac{147}{19}} = \frac{21\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{21\sqrt{57}}{19}$

$PA^2 = \frac{1323}{19}$より$PA = \sqrt{\frac{1323}{19}}=\sqrt{69.63}$

$PA = 3\sqrt{\frac{147}{19}} = 3\sqrt{\frac{9*19-24}{19}} = 3\sqrt{7+\frac{14}{19}}$

$\sqrt{69.63} = 3\sqrt{\frac{49*3}{19}}= 3 \sqrt{\frac{49}{\frac{19}{3}}}= 3 \sqrt{\frac{49}{6.33}}$

$PA = \sqrt{\frac{1323}{19}} = \sqrt{\frac{441*3}{19}} = 21 \sqrt{\frac{3}{19}}$

しかし、$21\sqrt{\frac{3}{19}} = 21\sqrt{\frac{57}{361}} = \frac{21}{19} \sqrt{57}$.

$2PA=3PB$

$4PA^2=9PB^2$

$AP^2 + BP^2 - 2AP*BP*\cos(120) = AB^2$

$AP^2 + (\frac{2}{3}AP)^2 + \frac{2}{3}AP^2 = (7\sqrt{3})^2$

$AP^2(1+\frac{4}{9}+\frac{2}{3}) = 147$

$AP^2 = 147 / (1+\frac{4}{9}+\frac{6}{9}) = 147 * \frac{9}{19} = \frac{1323}{19}$

$AP = \sqrt{\frac{1323}{19}} = \sqrt{\frac{49*27}{19}} = 7\sqrt{\frac{27}{19}}$

(2) 三角形PABの面積が最大となる時

$S = \frac{1}{2}PA \cdot PB \cdot sin120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4} PA \cdot PB$

$S$が最大になるには$PA \cdot PB$が最大になればよい。

$AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2PA \cdot PB \cdot cos∠APB$

$AB^2 = PA^2 + PB^2 + PA \cdot PB$

$147 = PA^2 + PB^2 + PA \cdot PB \ge 3 \sqrt[3]{PA^2 PB^2 PA \cdot PB}=3 \sqrt[3]{PA^3 PB^3} = 3 PA \cdot PB$

$PA \cdot PB \le 49$

よって、最大値は$PA=PB$の時。

$147 = PA^2 + PA^2 + PA^2 = 3PA^2$

$PA^2 = 49$

$PA=7$

(3) $sin∠PBA$が最大となる時

$sin∠PBA$が最大となる時、$∠PBA=90^\circ$

このとき、PAは直径となるので$PA = 2R = 14$

面積は$\frac{1}{2}AB\cdot BP = \frac{1}{2}AB \cdot \sqrt{(2R)^2-AB^2}=\frac{1}{2} \cdot 7\sqrt{3} \cdot \sqrt{14^2 - (7\sqrt{3})^2}= \frac{7\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{196 - 147} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{49} = \frac{49\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

ア:7

(1) イ:7 ウエ:$\sqrt{\frac{27}{19}}$

(2) オ:7 カ:

(3) キク:14 ケコ:49 サ:3 シ:2