与えられた積分を計算します。 積分は $\int \frac{1}{x (\log x)^3} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

積分は $\int \frac{1}{x (\log x)^3} dx$ です。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分法を用います。

$u = \log x$ と置くと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ より、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int \frac{1}{x (\log x)^3} dx = \int \frac{1}{(\log x)^3} \cdot \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{u^3} du = \int u^{-3} du$

$u^{-3}$ を積分すると、次のようになります。

$\int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C$

ここで、$u = \log x$ を代入して元に戻すと、

$-\frac{1}{2 (\log x)^2} + C$

3. 最終的な答え

最終的な答えは次の通りです。

$-\frac{1}{2 (\log x)^2} + C$