以下の6つの積分を計算します。 (1) $\int e^{4x} dx$ (2) $\int 5^{2x} dx$ (3) $\int \frac{1}{e^{2x}} dx$ (4) $\int \sqrt{e^{6x}} dx$ (5) $\int (e^{3x}-1)(e^{-x}+2) dx$ (6) $\int \frac{e^{4x}+3e^{2x}-e^{x}}{e^{2x}} dx$

はい、承知いたしました。問題の積分を解きます。

1. 問題の内容

以下の6つの積分を計算します。

(1) $\int e^{4x} dx$

(2) $\int 5^{2x} dx$

(3) $\int \frac{1}{e^{2x}} dx$

(4) $\int \sqrt{e^{6x}} dx$

(5) $\int (e^{3x}-1)(e^{-x}+2) dx$

(6) $\int \frac{e^{4x}+3e^{2x}-e^{x}}{e^{2x}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int e^{4x} dx$

$u = 4x$ と置換すると、$du = 4 dx$、つまり $dx = \frac{1}{4} du$ となります。

よって、

$\int e^{4x} dx = \int e^u \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int e^u du = \frac{1}{4} e^u + C = \frac{1}{4} e^{4x} + C$

(2) $\int 5^{2x} dx$

$u = 2x$ と置換すると、$du = 2 dx$、つまり $dx = \frac{1}{2} du$ となります。

よって、

$\int 5^{2x} dx = \int 5^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int 5^u du = \frac{1}{2} \frac{5^u}{\ln 5} + C = \frac{5^{2x}}{2\ln 5} + C$

(3) $\int \frac{1}{e^{2x}} dx = \int e^{-2x} dx$

$u = -2x$ と置換すると、$du = -2 dx$、つまり $dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

よって、

$\int e^{-2x} dx = \int e^u (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2} e^u + C = -\frac{1}{2} e^{-2x} + C$

(4) $\int \sqrt{e^{6x}} dx = \int (e^{6x})^{\frac{1}{2}} dx = \int e^{3x} dx$

$u = 3x$ と置換すると、$du = 3 dx$、つまり $dx = \frac{1}{3} du$ となります。

よって、

$\int e^{3x} dx = \int e^u \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C$

(5) $\int (e^{3x}-1)(e^{-x}+2) dx = \int (e^{2x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2) dx$

$= \int e^{2x} dx + 2 \int e^{3x} dx - \int e^{-x} dx - 2 \int dx$

$= \frac{1}{2} e^{2x} + 2 (\frac{1}{3} e^{3x}) - (-e^{-x}) - 2x + C = \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{2}{3} e^{3x} + e^{-x} - 2x + C$

(6) $\int \frac{e^{4x}+3e^{2x}-e^{x}}{e^{2x}} dx = \int (e^{2x} + 3 - e^{-x}) dx$

$= \int e^{2x} dx + 3 \int dx - \int e^{-x} dx$

$= \frac{1}{2} e^{2x} + 3x - (-e^{-x}) + C = \frac{1}{2} e^{2x} + 3x + e^{-x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4} e^{4x} + C$

(2) $\frac{5^{2x}}{2\ln 5} + C$

(3) $-\frac{1}{2} e^{-2x} + C$

(4) $\frac{1}{3} e^{3x} + C$

(5) $\frac{1}{2} e^{2x} + \frac{2}{3} e^{3x} + e^{-x} - 2x + C$

(6) $\frac{1}{2} e^{2x} + 3x + e^{-x} + C$