与えられた4つの積分を計算する問題です。 (1) $\int (\cos \frac{x}{2} - 6 \sin 3x) dx$ (2) $\int (4 \tan 2x - \cot \frac{x}{3}) dx$ (3) $\int (4 \sec 2x - 2 \csc \frac{x}{3}) dx$ (4) $\int (\frac{1}{2} \csc^2 \frac{x}{2} - 6 \sec^2 3x) dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの積分を計算する問題です。

(1) $\int (\cos \frac{x}{2} - 6 \sin 3x) dx$

(2) $\int (4 \tan 2x - \cot \frac{x}{3}) dx$

(3) $\int (4 \sec 2x - 2 \csc \frac{x}{3}) dx$

(4) $\int (\frac{1}{2} \csc^2 \frac{x}{2} - 6 \sec^2 3x) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (\cos \frac{x}{2} - 6 \sin 3x) dx$

- $\int \cos \frac{x}{2} dx = 2 \sin \frac{x}{2} + C_1$

- $\int \sin 3x dx = -\frac{1}{3} \cos 3x + C_2$

- よって、$\int (\cos \frac{x}{2} - 6 \sin 3x) dx = 2 \sin \frac{x}{2} + 2 \cos 3x + C$

(2) $\int (4 \tan 2x - \cot \frac{x}{3}) dx$

- $\int \tan 2x dx = \frac{1}{2} \int \frac{\sin 2x}{\cos 2x} dx = -\frac{1}{4} \ln |\cos 2x| + C_1$

- $\int \cot \frac{x}{3} dx = 3 \int \frac{\cos \frac{x}{3}}{\sin \frac{x}{3}} d(\frac{x}{3}) = 3 \ln |\sin \frac{x}{3}| + C_2$

- よって、$\int (4 \tan 2x - \cot \frac{x}{3}) dx = -\ln |\cos 2x| - 3 \ln |\sin \frac{x}{3}| + C$

(3) $\int (4 \sec 2x - 2 \csc \frac{x}{3}) dx$

- $\int \sec 2x dx = \frac{1}{2} \ln |\sec 2x + \tan 2x| + C_1$

- $\int \csc \frac{x}{3} dx = -3 \ln |\csc \frac{x}{3} + \cot \frac{x}{3}| + C_2$

- よって、$\int (4 \sec 2x - 2 \csc \frac{x}{3}) dx = 2 \ln |\sec 2x + \tan 2x| + 6 \ln |\csc \frac{x}{3} + \cot \frac{x}{3}| + C$

(4) $\int (\frac{1}{2} \csc^2 \frac{x}{2} - 6 \sec^2 3x) dx$

- $\int \csc^2 \frac{x}{2} dx = -2 \cot \frac{x}{2} + C_1$

- $\int \sec^2 3x dx = \frac{1}{3} \tan 3x + C_2$

- よって、$\int (\frac{1}{2} \csc^2 \frac{x}{2} - 6 \sec^2 3x) dx = -\cot \frac{x}{2} - 2 \tan 3x + C$

3. 最終的な答え

(1) $2 \sin \frac{x}{2} + 2 \cos 3x + C$

(2) $-\ln |\cos 2x| - 3 \ln |\sin \frac{x}{3}| + C$

(3) $2 \ln |\sec 2x + \tan 2x| + 6 \ln |\csc \frac{x}{3} + \cot \frac{x}{3}| + C$

(4) $-\cot \frac{x}{2} - 2 \tan 3x + C$