次の不定積分を求めます。 $\int \left(\cos\frac{x}{2} - 6\sin 3x\right) dx$

## (1)の問題

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \left(\cos\frac{x}{2} - 6\sin 3x\right) dx$

2. 解き方の手順

不定積分を計算するために、線形性と基本的な積分公式を利用します。

$\int \cos\frac{x}{2}dx = 2\sin\frac{x}{2} + C_1$

$\int \sin 3x dx = -\frac{1}{3}\cos 3x + C_2$

したがって、

$\int \left(\cos\frac{x}{2} - 6\sin 3x\right) dx = \int \cos\frac{x}{2}dx - 6\int \sin 3x dx$

$= 2\sin\frac{x}{2} - 6\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C$

$= 2\sin\frac{x}{2} + 2\cos 3x + C$

3. 最終的な答え

$2\sin\frac{x}{2} + 2\cos 3x + C$

## (2)の問題

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \left(4\tan 2x - \cot\frac{x}{3}\right) dx$

2. 解き方の手順

不定積分を計算するために、線形性と$\tan x$と$\cot x$の積分公式を利用します。

$\int \tan ax dx = -\frac{1}{a} \ln|\cos ax| + C$

$\int \cot ax dx = \frac{1}{a} \ln|\sin ax| + C$

したがって、

$\int \left(4\tan 2x - \cot\frac{x}{3}\right) dx = 4\int \tan 2x dx - \int \cot\frac{x}{3} dx$

$=4\left(-\frac{1}{2}\ln|\cos 2x|\right) - 3\ln|\sin\frac{x}{3}| + C$

$=-2\ln|\cos 2x| - 3\ln|\sin\frac{x}{3}| + C$

3. 最終的な答え

$-2\ln|\cos 2x| - 3\ln|\sin\frac{x}{3}| + C$

## (3)の問題

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \left(4\sec 2x - 2\csc\frac{x}{3}\right) dx$

2. 解き方の手順

不定積分を計算するために、線形性と$\sec x$と$\csc x$の積分公式を利用します。

$\int \sec ax dx = \frac{1}{a}\ln|\sec ax + \tan ax| + C$

$\int \csc ax dx = -\frac{1}{a}\ln|\csc ax + \cot ax| + C$

したがって、

$\int \left(4\sec 2x - 2\csc\frac{x}{3}\right) dx = 4\int \sec 2x dx - 2\int \csc\frac{x}{3} dx$

$= 4\left(\frac{1}{2}\ln|\sec 2x + \tan 2x|\right) - 2\left(-3\ln|\csc\frac{x}{3} + \cot\frac{x}{3}|\right) + C$

$= 2\ln|\sec 2x + \tan 2x| + 6\ln|\csc\frac{x}{3} + \cot\frac{x}{3}| + C$

3. 最終的な答え

$2\ln|\sec 2x + \tan 2x| + 6\ln|\csc\frac{x}{3} + \cot\frac{x}{3}| + C$

## (4)の問題

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \left(\frac{1}{2}\csc^2\frac{x}{2} - 6\sec^2 3x\right) dx$

2. 解き方の手順

不定積分を計算するために、線形性と$\csc^2 x$と$\sec^2 x$の積分公式を利用します。

$\int \csc^2 ax dx = -\frac{1}{a}\cot ax + C$

$\int \sec^2 ax dx = \frac{1}{a}\tan ax + C$

したがって、

$\int \left(\frac{1}{2}\csc^2\frac{x}{2} - 6\sec^2 3x\right) dx = \frac{1}{2}\int \csc^2\frac{x}{2} dx - 6\int \sec^2 3x dx$

$= \frac{1}{2}(-2\cot\frac{x}{2}) - 6\left(\frac{1}{3}\tan 3x\right) + C$

$= -\cot\frac{x}{2} - 2\tan 3x + C$

3. 最終的な答え

$-\cot\frac{x}{2} - 2\tan 3x + C$