与えられた4つの積分を計算する問題です。具体的には以下の積分を計算します。 (1) $\int (\csc x + \tan x) \cos x \, dx$ (2) $\int \frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} \, dx$ (3) $\int \cos 5x \cos 3x \, dx$ (4) $\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの積分を計算する問題です。具体的には以下の積分を計算します。

(1) $\int (\csc x + \tan x) \cos x \, dx$

(2) $\int \frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} \, dx$

(3) $\int \cos 5x \cos 3x \, dx$

(4) $\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\csc x = \frac{1}{\sin x}$ と $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を利用します。

$\int (\csc x + \tan x) \cos x \, dx = \int (\frac{1}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x}) \cos x \, dx = \int (\frac{\cos x}{\sin x} + \sin x) \, dx = \int (\cot x + \sin x) \, dx$.

$\int \cot x \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx = \log |\sin x|$

$\int \sin x \, dx = -\cos x$

よって、$\int (\cot x + \sin x) \, dx = \log |\sin x| - \cos x + C$.

(2)

$\int \frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} \, dx = \int \tan^2 4x \, dx = \int (\sec^2 4x - 1) \, dx$.

$\int \sec^2 4x \, dx = \frac{1}{4} \tan 4x$

$\int 1 \, dx = x$

よって、$\int (\sec^2 4x - 1) \, dx = \frac{1}{4} \tan 4x - x + C$.

(3)

積和の公式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A+B) + \cos(A-B))$ を利用します。

$\int \cos 5x \cos 3x \, dx = \int \frac{1}{2} (\cos(5x+3x) + \cos(5x-3x)) \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos 8x + \cos 2x) \, dx$.

$\int \cos 8x \, dx = \frac{1}{8} \sin 8x$

$\int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x$

よって、$\frac{1}{2} \int (\cos 8x + \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{8} \sin 8x + \frac{1}{2} \sin 2x) + C = \frac{1}{16} \sin 8x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$.

(4)

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を利用します。

$\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx = \int \frac{1 + \cos(\frac{2x}{4})}{2} \, dx = \int \frac{1 + \cos(\frac{x}{2})}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(\frac{x}{2})) \, dx$.

$\int 1 \, dx = x$

$\int \cos(\frac{x}{2}) \, dx = 2 \sin(\frac{x}{2})$

よって、$\frac{1}{2} \int (1 + \cos(\frac{x}{2})) \, dx = \frac{1}{2} (x + 2 \sin(\frac{x}{2})) + C = \frac{x}{2} + \sin(\frac{x}{2}) + C$.

3. 最終的な答え

(1) $\log |\sin x| - \cos x + C$

(2) $\frac{1}{4} \tan 4x - x + C$

(3) $\frac{1}{16} \sin 8x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(4) $\frac{x}{2} + \sin(\frac{x}{2}) + C$